CHAPITRE III

Ainsi , I/7 abX Vie - V 1 4 abc ,

5a V 1 8a5c X 3 b Vîbc = 5a X 35 V^abcxïbc

= 1 5ab y 36a5“? = 1 5a5v/365V x l/â = >5u5 x 65c y/a = Ç)oab*c\/â.

Va + bxVa — b= V(a + b)X (a — 5) = |/â*' — 5\

4°. La division de deux radicaux quarrés l’un par l’autre s’effectue en indiquant la division des quantités placées sous ces radicaux , et en mettant le quotient sous un radical du même degré ; car d'après ce qui a été démontré (page 1 72) , Je

quarré de étant ou il en résulte que

prime la racine quarrée de Par conséquent. — . / a

b Vb~Vb

V »4 abc / \[\abc

ex-

V la3 b __ V 7 a?b . /géb — -

~^~--Çr^-\/-^ = Ÿ1ab.

5°. Toutes les puissances de degré pair d’un radical quarré réduit à sa plus simple expression sont rationnelles, et toutes les puissances de degré impair sont irrationnelles; car en élevant k la nlim‘ puissance les deux membres de l’identité

(V*y= *■, il vient (v/â)« = «"; et l’on a

( v «)**** = ( v«yn X \/« = -" v*.

Ainsi , ( V/3Ô5)5 = (3a5)* xV$ a5 = 9 aa5a V^âb-

83. Le quarré d’une quantité positive étant le même que celui de cette quantité affectée du signe —, il en résulte que la racine quarrée dune quantité a toujours deux valeurs égales et de signes contraires.

i8o ALGÈBRE.

Ainsi , le quarré de chacun des nombres + 3 , — 3 , étant -J- 9, la racine quarrée de 9 a deux valeurs +3 et — 3.

De même , la racine quarrée de a* a deux valeurs -f-«, — a ; car le quarré de chacune des quantités -+- * > — * , est «*.

Les procédés arithmétiques ne donnent qu’une seule valeur de la racine quarrée d’un nombre ; tandis qu’en ayant égard aux signes algébriques et — , on obtient deux valeurs de celte racine. On dit, par ce motif, que la racine quarrée de a1 n’a qu’une seule valeur arithmétique • , et qu’elle a deux valeurs algébriques -f- », — a. Ce qu’on indique en posant a? = rt «.

Ainsi ,1/98 une seule valeur arithmétique 3, et deux valeurs algébriques +• 3 , — 3.

La valeur arithmétique d’une quantité se nomme aussi sa valeur absolue , parce qu’elle est indépendante des signes algébriques -b* et — .

Remarque. La régie générale du n° 81 conduirait aux deux valeurs algébriques de la racine quarrée d’un polynôme P; car la racine quarrée du i*r terme du polynôme P, devant être affectée du double signe + et — , le i*r terme de la racine de ce polynôme a deux valeurs, + f et — la première fournit la racine et qui a été obtenue par les méthodes précédentes , et la 2' valeur du Ier terme, conduirait à l’autre valeur — et de la racine du polynôme proposé.

Ainsi, pour obtenir la racine d’un polynôme, il suffit de calculer cette racine au moyen de la règle du n° 81 ,et d’affecter ensuite la racine obtenue du double signe nfc.

84. Le quarré d’une quantité positive ou négative étant toujours positif, la racine quarrée d’une quantité négative n’existe pas. On dit, par ce motif, que cette racine est imaginaire.

Ainsi , la racine quarrée de — 9 est imaginaire ; on la désigne

par l/— 9*

D’après son origine, le quarré de \/ — 9 est —g, et le quarré de \/—* est — a.

Remarque. Si l’on appliquait la règle du n°82, (3°), on trouverait