CHAPITRE III

Pour interpréter ce résultat , il suffit d’observer que lorsqu’on ignore d’où provient l/8i , on doit admettre ses deux valeurs -f- g, — g. Mais, quand on sait que ^ 81 résulte de la multiplication de l/ — 9 par \/ — 9, on ne peut plus admettre que la valeur — 9 du quarré de v' — g.

Cette observation mérite toute l’attention des élèves.

Le symbole )/—> indiquant une expression dont le quarré doit être — 1, il en résulte que ,

V— iX|/^ï=— 1; d’où -ÿ-=^= — V' — 1.

On en déduit, [b^ — i)a=ia(y/ — — 1)= — b

V“xV — 1 = 1/ — a, \/ b X V~—\—V — b,

V — ax V — b=Vax V — 1 x Vbx [/~~i = ^/« \^b(.V^ — 1)"= —

v~b~y *’ V+i>~ vi “V 1 *v V *’

1/-4 l/=Tv b Vl v 6

La formule (st -+- C) (ce — C) = et’ — donne

Ainsi, le produit de deux facteurs imaginaires peut être réel et l’on peut toujours décomposer lu somme de deux quarré s en deux facteurs imaginaires.

85. Les diverses puissances entières positives de V' — 1 se réduisent àdzi , ou à±V* — i.En effet: si l’on désigne^ — x par », et si n représente un nombre entier positif quelconque, on aura

“= l/ — x, »’= — i, *3 = <*aX« = — #, a4=«,X*!1=+ 1, <*4n = C**t>n= (+ i)*=+i , »,,,+,=a4*X«s =+«=+V/— a4-.+.__it4»x«1=(4-i)X(— 1)=— 1,

xV = (-f-i)X (-«) = — «= — V~-

18a ALGÈBRE.

Ces relations démontrent que pour trouver directement la nUm‘ puissance de \/ — i , il suffit de diviser n par 4; selon que le reste est zéro, ou I, ou 2 , ou 3, la puissance demandée est 4 1 , ou + \Z — I,OU—l,OU — ^/—I.

Par exemple, le reste de la division de 35 par 4 étant 3, la 35Km* puissance de [/ — 1 est — \/ — 1.

86. On verra par la suite que l'emploi des imaginaires est de la plus grande utilité dans les diverses parties des Mathématiques.

Pour en donner une première idée , nous chercherons deux expressions différentes du produit P des quatre facteurs imaginaires

a-\-b\ / — 1, a — by' — i, a-f-Cj/ — 1, m— C\/ — 1.

Le produit des deux premiers facteurs est et celui

des deux autres est Donc

Or, le produit du ie* facteur par le 3e est

{aa — bC) 4 (aC 4 ^*0 V — 1 »

et le produit du 2e par le 4' est

(fia — bC)—(fiC 4 ba) \/ ^Ï7

Multipliant ces deux derniers produits l’un par l’autre» et observant que(p4qV/ — 1) X(p — qV — i)=p*4<7*i on trouve

P = [aa — bC)‘ 4 (“£ 4 ba)*.

Ces deux valeurs de P devant être les mêmes, il faut que

(0 ... (a* 4 6*) X («'4£*) = O — iQ* 4 (^4^)*-

En effet, si l’on effectue les multiplications indiquées, on verra que chacun des deux membres de l’identité (i) se réduit à a'a'+b'fr +a*C'+b‘‘a*.

L’identité (1) démontre cette propriété remarquable, que la somme des quarrès de deux nombres entiers, multipliée par la