CHAPITRE III

tomme des quarrés de deux aulres nombres entiers , est toujours égale à la somme des quarrés de deux nombres entiers ; car en supposant que, a, b, « et £ sont des nombres entiers quelconques , a» — bC et aC -f- b* deviennent deux nombres entiers p,q, et on a (a*+6*)X (•*+£*)=/’* + <7*-

Exemple. Soient, a=3, b = 2, *=7, C = 5.

Les relations p=a» — bC , q = aQ -\-b», donnent p=n, <7=29.

Et en effet, ona (3* + 2a)X (7*+5a)=i i*+29*.

Il est essentiel de remarquer la différence qui existe entre les quantités incommensurables et les expressions imaginaires ; les unes et les autres ne peuvent être exprimées exactement en nombres, mais les premières existent, et il est toujours possible d’en approcher autant qu’on veut, tandis qu’aucune quantité ne peut approcher des imaginaires.

§ II. Des équations et des problèmes du second degré.

Équations du second degré.

87. Ce qui précède fournit le moyen de résoudre toutes les équations du second degré à une seule inconnue , qui ne renferment que le quarré de l’ inconnue ; car on peut toujours ramener ces équations à la forme x* = et \ et , d’après le principe du n° 83, si c désigne la valeur arithmétique de\/ cl, les deux valeurs de x qui satisfont à l’équation proposée sont+c et — c.

De sorte que l’équation xa = <* donne

Par exemple , x* = 49 donne x = ± 7,

x*= - donne x =

x*= 0,49 donne K — ^°i49 — ^ °t7-

ALGKWIE.

L’équalion x*=io donne x — ±l/io.

Ces deux valeurs de x étant incommensurables, aucun nombre entier ou fractionnaire ne satisfait à l’équation proposée; mois ou peut toujours déterminer un nombre qui diffère d’aussi peu qu’on veut de x.

Si l’on extrait la racine quarréc de 10 , on trouvera que les valeurs approchées de x sont

±3,16227766016837933199889354443271 , etc.

L’équation x’= /^a’b6 donne x = y/ 4 a‘b6 — ± 2 ab3.

L’équation x’— ^ab3 donne x = [//^ab1 = ± 2Z1 y' ab.

L’équation

x3=4a6bs — 28 a5b7 -f- 49rl^6~i~ 12 a^e — 42at^S~t~9^> donne x ± (2 a3bi — ja‘b3 3b*) , (page 176).

Inéquation x*— — 49 donne x = ±^/ — 4‘J-

Ces deux valeurs de x sont imaginaires ; c’est-à-dire qu’il n’cxislc aucune quantité qui, multipliée par elle-même , donne

En général, quand * désigne une quantité positive, aucune valeur réelle de x ne satisfait à l’équation x* = — * ; car il s’agit de trouver pour x une quantité qui, multipliée par illc-mème , donne un produit négatif, et toute quantité positive ou négative, multipliée par elle- meme, conduit à un résultat positif.

La racine quarrée de xs étant ±x, l’extraction de la racine quarrée des deux membres de l’équation x“ = 49 donnerait ±x = ±7’, mais il n’en résulterait pas des nouvelles valeurs de x, car

+ x = ± 7 donne x = + 7 , x = — 7, et — x = ± 7 donne x = — 7, x = -f- 7. '

Par conséquent, lorsqu’on extrait la racine quarrée des deux membres d’une équation, il suffit de mettre le double signe ± devant la racine de l’un des membres.

On peut aussi se rendre compte de ces propriétés, en obser-