CHAPITRE lil. i

Tant que l’équation x’l:=49 revient à x3 — 71 = o , ou à (x — 7)X(x'+ 7) = o, car («3 — £*) = («— €) (« + £).

Or, pour que le- produit (x — 7) (.c -f- 7) soit nul , il suffit et il faut qu’un de ses facteurs x — 7, x + 7 soit zéro; ce qui donne x = 7 et x := — 7.

Chacune de ces valeurs de x satisfait à l’équation proposée x5 = 49 > aucune autre valeur de x ne peut y satisfaire.

Les valeurs de x, qui satisfont à l’équation x* = * , étant fournies par l’extraction de la racine quarrée de a, se nomment les racines de cette équation.

Par analogie , toute valeur de l’ inconnue qui rend les deux membres d'une équation identiquement égaux j est une racine de cette équation.

Ainsi , l’hypothèse x = a réduisant chaque membre de l’équation x3 — x zx. x1 -f- 2 , à + 6 , le nombre 2 est une racine de cette équation.

88. Toute équation complète du second degré à une seule inconnue x peut se ramener à la forme «x* •+■ ÔX + c=o, a, b, c désignant des quantités entières connues.

1er Exemple. Soit l’cquation numérique

O11 fera d’abord disparaître les dénominateurs (n° 37, 53) , ce qui donnera

2jcX4X7X*— iX*X7+6x4X7=5x4X7X* — 3xX4x*,’ ou, en effectuant les multiplications indiquées,

Si l’on fait passer tous les termes dans le ier membre, et si l’on réunit les termes semblables, on trouvera

Comparant cette dernière équation à l’équation générale «x3 -f- bx -f- c — o , on a

a* Exemple. Soit l’équation littérale

dans laquelle d, e , f, g , h , m, n désignent des quantités connues; on chassera les dénominateurs (n° 37, 5°), ce qui donnera

3 dnh -f- ifxnh (x — ë)—gx(x — e) n — mh (x — e).

Effectuant les multiplications indiquées, passant tous les termes dans le I*' membre, et réunissant les termes semblables, on trouvera

(2 \fh — g) nx“ 4* ( egn -f- mh — 2 efhn) x -j- (3 dn — em) h = o.

Pour ramener cette dernière à la forme indiquée , il suffit de faire

( [ifh — g)n —a, egn-{-mh — lefhn— b, (3dn — em) h =c.

Pour résoudre l’équation générale du second degré à une seule inconnue ax* 4- bx + c = o , on divise d’abord tous ses termes par a, et afin de simplifier y b c

on pose - — p, - =<7;

elle devient

(1)... x” -f- px +■ q = o.

Nous allons faire dépendre la résolution de cette équation de celle d’une équation du premier degré. Cela serait facile si le premier membre étant un quarré, le second membre était un nombre connu , car il suffirait d’extraire la racine quarrce de chaque membre.

Par exemple , dans l’équation (2) ... x“ -f- 2<tx 4" “* = le i*r membre étant le quarré de x 4* <*■ > l’extraction de la racine quarrée de chaque membre conduit à l’équation du premier degré

x + * = ±|/£i d'où x — —

ce qui détermine les deux valeurs de x qui satisfont à l’équation (2).

La question se réduit donc à ramener l’équation (1) à la

forme (2). A cet effet , on fait d’abord passer q dans le second membre; ce qui donne

x2 +px= — q-,

et il ne s’agit plus que de trouver la quantité qu’on doit ajouter au premier membre , pour qu’il devienne le quarré d’un binôme.

Or , on peut regarder x* -j- px comme les deux premiers termes du quarré d’un binôme dont le 1" terme est x , et dont le double de ce 1* terme multiplié par le 2' est px; le

2* terme du binôme est donc égal à ou h - p. Par conséquent, la quantité qu’il faut ajouter au i,r membre x*+ px, pour en faire un quarré, est le quarré de -p ou jp2\ et afin de

conserver l’égalité , on ajoutera aussi ^ pa au 2e membre; ce qui donnera

x“-f-px+ip* = — q + ip*.

Le 1*' membre étant le quarré de x-f-^p, on en extrait

la racine quarrée, et l’on indique la racine quarrée du 2* membre ; ce qui donne

La formule (3) détermine deux valeurs de x qui satisfont à l’équation (1) ; car il est facile de s’assurer que chacune d’elles, substituée dans (1), rend cette équation identique; ces deux valeurs de x sont les racines de l’équation (1).

Toute équation du second degré à une seule inconnue a donc deux racines.

Lorsque — q -f- ^p* est un nombre positif, les deux racines sont réelles et inégales.

d’où

ibB

Quand. — q -f- ^ p* est zéro , les deux racines se réduisent à — ^p. Le i*r membre x* + px -f- q devient x1 -f- px + -jp*, ou

(x + îp)' ou (* + 5p)(* + 5p);

ce premier membre étant le produit de deux facteurs égaux, on dit par ce motif que les deux racines sont igales.

Enfin, lorsque — q -f- ■- p* est négatif, les deux racines de

l’équation x“ -f-pr-f-q = o sont imaginaires.

Dans ce dernier cas, q étant nécessairement positif et plus

grand que - p*, on a

q =^/?* - f- (d' est positif et plus grand que zéro) ;

l’équation x* 4* p* + <7 — ° revient à x' + px + ^p'+ï=o, ou à (Æ + ^p) + ^=°i

et i étant positif, on voit qu’aucune valeur réelle de x ne peut réduire le i,r membre à zéro.

Les valeurs imaginaires de x sont des symboles .algébriques qui jouissent de la propriété de réduire x’ + px-f-q à zéro. Quand le dernier terme de l’équation x’ -f-px -f- q= o est

négatif, — <7 + 7 P* est nécessairement positif; les deux

ra-

cines sont donc réelles.

Par conséquent : Dans toute équation du second degré. . . x1 -j- px — q = o , dont le dernier terme est négatif, les deux racines sont réelles.

Pour obtenir les racines de l’équation ox1 -f- bx -f- c = o , b c

il suffit de faire p= -, q— dans la formule (3),(p. 187) ;

on en déduit