CHAPITRE III

Par conséquent : Toute équation du second degré en x a deux racines, et aucune autre valeur de x ne saurait satisfaire à cette équation.

On peut employer ces dernières transformations pour résoudre l’équation (i)... xa -\-px -f- q — o.

Il en résulte que si l’on désigne par x' et x" les racines de l’équation (i)... xa -J- px -f- q = o , on aura

,'=Ip+y/-9+i,>% x"=-Lp-\/-q+l-p> ■

et d’après la relation (4), le premier membre x*-\~px + q sera le produit de x — x’ par x — x'.

91. On en déduit que le premier membre de l'équation ( 1 ) . . . xa -f- px -f- q = o est exactement divisible par l’inconnue moins chaque racine , et que pour former l’équation dont les racines sont des nombres donnés x’ , x", il suffit d’égaler à zéro le produit x 1 — ( x' -J- x" ) x -f- x' x" des facteurs binômes

92. Les racines d’une équation du second degré étant x' et x" , nous venons de voir que cette équation revient à

x* — (x' -f- x") x + x! x" — o. Par conséquent :

Dans toute équation du second degré ramenée à la forme x 1 -j- px -f- q = o , le coefficient de la première puissance de x pris avec un signe contraire , est égal à la tomme des racines de cette équation, et le dernier terme est égal au produit de ces racines.

On peut encore s’en assurer d’une autre manière; car les racines x', x" de l’équation x* px q =z o, étant

011 trouve x' -f- x" = — p,

x/Xx" = (-lp+

Lorsque p = o , la somme des racines x' , x ", est égale à zéro; ces racines sont donc égales et de signes contraires; et en effet, les valeurs de x' et x" deviennent x' = — q , x"= — v/-— q.

L’équation x* -f-px + q = o, conduit au même résultat, car elle devient x* -f- q — o , d’où x = ± V/ - — <7 .

Quand le produit q des deux racines x', x", est égal à zéro, l’une d’elles est nécessairement nulle; et en effet, les formules (1) donnent x‘ = o, x" — — p.

On parvient plus directement au même résultat, en observant que q étant nul, l’équation x“ -f- px -{- q = o,

devient xa + px=o, ou x(x-f-p) = o,

et le produit x(x-f-p) ne pouvant être nul que lorsqu’un de ses facteurs est zéro , on a x = o et x = — p .

93. Les relations x' x" — — p , x' X x" = -|- q , fournissent le moyen de déterminer les signes des racines réelles de toute équation du second degré , sans quJil soit nécessaire de la résoudre.

Par exemple , soit l’cquation x* — 6x -f- 8 = o; le produit des deux racines de cette équation étant -+-8, ces racines sont nécessairement de mêmes signes; mais leur somme est +6; elles sont donc positives ; et en effet, ces racines sont -j- 4 et -f- 2 .

Dans l’équation x* — px — 8=s=o, le produit des deux racines est — 8; elles sont donc de signes contraires; or leur somme est -j-2, la racine positive est donc la plus grande; et en effet, ces racines sont -f- 4 et —2.

g4- On peut aussi résoudre l’équation x* px -f- q — o , en la ramenant à la forme xa = ot. Ce qui se réduit à faire disparaître la première puissance de C inconnue. A cet effet , on égale x à la somme de deux inconnues y, z; une de ces inconnues reste entièrement arbitraire, s par exemple; on substitue la valeur y -f- z de x dans xa -f- px -f- q = o ; ce qui conduit à

(>)••• y'+ (2J+P).y-Ks!‘+/>z + <7) = ‘>,

et l’on dispose de X indéterminée z de manière que la première