CHAPITRE III

y = — q+-^p*i d’où y.

puissance de l’inconnue y n’entre plus dans l’équation (i); ce qui revient à supposer

+ p = o ; d’où z — — ip.

Substituant cette valeur de z dans (i) , on trouve

Or, x=z+y=—^p+y. Donc x=— lp± \J — q-f ip».

Remahqüe. On voit que pour faire disparaître la première puissance de l’inconnue dans l’équation i‘+px + j = a, il

suffit d’y supposer x=y — ^ p; l’équation résultante est de la forme demandée y* — G.

g5. Pour résoudre directement V équation ax' -f- bx -f- c = o , sans diviser par le coefficient de x' , on fait passer c dans le

second membre, ce qui donne

ax1 -f- bx = — c.

On regarde ax1 -+- bx , comme les deux premiers termes du quarré d’un binôme, dont le quarré du i*r terme est ax', et dont bx est le double de ce i*r terme multiplié par le 2'; le i,*r terme du binôme est donc ^ ax' ou x\^a, et le a* terme

bx b

est -pz ou -p=.

Ajoutant à chaque membre le quarré 7— de — — il vient

Le i*r membre étant un quarré, on en extrait la racine, et on indique la racine du 2e membre; ce qui donne

b / b “ — 4 ac 1. , — bdz[/ b' — 4 ac

-z— ±l\/ — ; d’où x— 2—.

198 ALGEBRE.

Désignant ces deux valeurs de x, par £ et x* , on a

— b + V b‘ — 4 ac „ — b — y/ b'À — 4 ac

ia ’ 2 a

g6. Nous avons supposé que l’équation (i).„ ax,+6x-(-c=o était du second degré , de sorte que a n’était pas nul. Or, en

faisant a = o, l’équation (i) donne x = — ^ ; la généralité

des formules algébriques exige donc que l’hypothèse a = o

réduise x! ou x" à — -ÿ Mais, x" devient infini et x' se présente

sous la forme - ; la valeur de x' doit donc se réduire à — 7 .

On peut le vérifier ; car en substituant pour [/ 6“ — 4ac > sa valeur b — icb~'a — 2 c*b~3a2 — etc. (page 177), il vient

, — 2 cb~'a — 2 c2b~3a* — etc.

Supprimant le facteur a, commun aux deux termes de cette

fraction , et supposant «ensuite a = o, on trouve x' = —

On parvient plus simplement au même résultat en multipliant d’abord, par b + V b2 — 4ac> les deux termes de la fraction qui exprime x'; car le produit de y' b“ — 4 ac-f-b, par y/ b“ — 4 ac — b, étant (y/ b2 — 4 acY — ou — 4ac> OB trouve

, — 4oc — 2C

2a(b -\~y/ bÀ — 4ac) b-\~y b‘‘ — /[ac ’

et l’hypothèse a — o, donne x' = —

Quandaeti sont nuis, la valeur — j de x' est infinie, les deux racines de l’équation (1) deviennent infinies.