CHAPITRE III

mois est nul, c’est-à-dire que l’argent ne porte aucun intérêt , les escomptes des deux lettres de change seront égaux à zéro.

Problèmes du second degré à deux inconnues.

loi. Ier Problème. La somme de deux nombres est o.pj leur produit est q ; quels sont ces nombres?

Si x et y désignent les nombres cherchés , on aura

(i)... x+y = 2 p,xy = q.

La ir* équation donne y = np — x; la substitution de cette valeur dey», dans xy — q , conduit à

(2) . . . x“ — 2 px -f- q = o ; d’où x = p-±-\/p2 — q et x=p — J / p2 — q.

Or, y = 2p — x ; les valeurs correspondantes de y sont donc

p — V' p” — q et p + V p% — q-

les deux nombres cherchés sont donc les racines

p -j- \/ p2 — q , p — 1 / p2 — <7, de l’équation (2).

Par conséquent: Toutes les fois qu’on connaîtra la somme 2 p de deux nombres et leur produit q j ces deux nombres seront les racines p -(- \/ p2 — q , p — \/ p‘ — q de l'équation du second degré x •* — 2px -f- q = o.

Cela résulte d’ailleurs du principe du n° 92 (page ig5).

On pouvait prévoir que les inconnues x et y seraient les racines d’une même équation; car les équations (1) restant les mêmes quand on change x et y en y et x , il suffit de faire ce changement dans l’équation (2) pour obtenir l’équation y* — ipjr-\-q = o, qui résulterait de l’élimination de x entre les équations (1); x et y sont donc les racines de l’équatiou z“ — 2 pz + q = o.

En général : Toutes les fois que des inconnues entrent d’une manière semblable dans des équations , ces inconnues sont nécessairement les racines d'une même équation.

ao6 ALGÈBRE.

ire Remarque. Le problème proposé conduit à une équation du second degré , qui fournit deux valeurs de l’inconnue, et cependant il n’admet qu’une seule solution.

2e Remarque. Lorsqu’on ne donne que la somme 2 p de deux nombres positifs x,y, on n’a que la seule équation x+y = 2p entre x et y ; ces deux nombres inconnus, ont une infinité de ■valeurs, et leur produit q reste indéterminé. Cependant le produit q ne saurait croître indéfiniment , car les expressions

p+vV — <7. p—Vp'—q,

des nombres cherchés x,y devant être réelles et positives, la

plus grande valeur de q est p*.

Par conséquent : lorsque la somme 2 p de deux nombres positifs est donnée j la plus grande valeur du produit q , de ces deux nombres j est le quarrè p * de leur de mi- somme.

On peut d’ailleurs le démontrer directement ; car la somme des deux nombres positifs demandés étant 2p, si l’un de ces nombres est p -j- a, l’autre sera p — a; leur produit p* — a“ sera le plus grand possible quand a sera zéro , c’est-à-dire quand chaque facteur sera égal à la demi-somme p des nombres cherchés.

O11 peut résoudre le problème proposé à l’aide d’une seule inconnue, car en désignant l’un des deux nombres cherchés par x , l’autre sera 2 p — x\ et leur produit devant être égal à q , il faut que

x (2 p — x) — q-, d’où x* — 2 px q = o.

Cette équation donne

x = p + V'p' — q , d’où 2p — x=p — pV — q, x—p — v/pa — <7> d’où 2 p — x=p -t-[/p* — q.

Les deux nombres cherchés sont donc

P+Vf—q et p—V'p' — q-