CHAPITRE III

somme de deux facteurs positifs variables est constante, la plus grande valeur du produit de ces facteurs a lieu quand ces facteurs sont égaux.

ier Exemple. Soit le produit x X (6 — x).

La somme des facteurs positifs X, 6 — x étant constante, on obtiendra la valeur de x qui rend ce produit le plus grand possible en posant

x = 6 — x ; d’où 2r = 6, x=3.

Le produit maximum est donc 3 X 3 ou 9.

2* Exemple. Soit le produit (a -+- as) ( b — x).

Pour trouver la valeur de x qui fournit le maximum de ce produit, on pose

a-\-xz=b — x; d’où x=^(Z> — a).

Le produit maximum est

^(a + ù) X^(a+ù) ou^(a+ù)\

En général , la somme de m facteurs variables et positifs étant U, le maximum de leur produit a lieu quand tous ces facteurs sont égaux ; car si le produit maximum contenait deux facteurs inégaux b, c, on pourrait lui donner la forme bcpqr , etc. ; or, on vient de prouver que le produit

^ (b -f- c) X - (ù + c) serait plus grand que bc (*) , et la

somme des m facteurs b, c, p, q,r, etc. , serait la même que celle des m facteurs - (ù + c)> - (i -|- c) , p, q, r, etc.; il

existerait donc un produit - {b -f*c) X ^ (ù + c) X pqre te.,

qui serait plus grand que le produit maximum bcpqr etc., et dont la somme des m facteurs serait la même ; ce qui est impossible. Tous les facteurs du produit maximum sont donc égaux.

(') Cela est d'ailleurs évident, car l’inegalite

- (6+ c) x - (A + c)>èc, conduit & (A — c)*>o.

ao8

ALGEBRE.

Par conséquent : Chaque facteur du produit maximum est

CL /*\m

égal à —, et la valeur de ce produit est \ .

Exemple. Soit l’équation a -f-y -f- z = 6.

Pour trouver le maximum du produit ayz, on pose x—y=. zl’équation a-f-j» -f- z = 6, devient a-f-a-f- a= 6, 3a=6, x = 2. Le maximum cherché est donc 2X2X2 ou S.

2e Problème. Connaissant la différence j a, de deux nombres , et la différence , b, de leurs q narrés j trouver ces deux nombres.

Si x et y désignent les deux nombres cherchés, on aura

La ir® équation donne y — x — a j substituant cette valeur de y dans a1 — y1=.b, on trouve

x — ; et ensuite y — x — a , donne y— .

Les deux nombres cherchés sont donc

et

Remarque. La différence des nombres cherchés x,y étant a, si l’on connaissait leur somme , il serait facile d’en déduire x et y (n° 2 ). Or , on peut trouver cette somme; car a* — y' étant le produit de a — y par a + y, si l’on divise la valeur b

de a* — y1, par la valeur a de a — y, le quotient ^ exprimera a-f-j. On a donc

a-f - y = et a — y = a-, d’où (n° 2)

3* Problème. Connaissant la somme ^ a, de deux nombres inconnus Xj y, et la différence b de leurs quarréSj trouver ces deux nombres. On a

Si l’on divise la valeur b de a“ — y', par la valeur a de x-{-yt