CHAPITRE III

le quotient * exprimera x — jr. Don a

aog

x + y— ai x~ y — a’ d,oi,(n°a)»

x='ï(a + liï' y=\(a-bi)‘

4* Problème. On sonnait la somme j a, des quarrêsde deux nombres, et le produit , bj de ces quarrès. Il sJ agit de trouver ces deux nombres.

Soient x et y les deux nombres cherchés ; on aura xa +ya = a, x'y* = b.

Or, d’après le principe du n° loi (page ao5) ,‘x*et y* sont les racines de l’équation

a* — az -+- b = o.

On a donc

Les doubles signes qui affectent tes radicaux fournissent les quatre systèmes de valeurs de x et y qui satisfont aux équations proposées.

Exemple. Soient a — 34, b = aa5 ; on en déduit

~®.==,7» ia* = (ia)=i7’ = 289, î«a-6 = 64,

yJ-^ — bzx. 8, x = :£5, y=±3.

Si l’on combine chacune dés deux valeurs de x avec chacune des deux valeurs dey, on obtiendra les quatre solutions du système

X* + ?*■== 34, iy = »a5.

ai o ALGÈBRE.

5* Problème. Trouver deux nombres x > y , dont la nomme des quarrés soit j a, et dont le produit soit b. On aura

(')••• x,-\-y%=’a, xy = b.

Ces équations peuvent se résoudre par différentes méthodes, i'* Méthode. On élimine entre les équations (i), en substituant dans la ire équation, la valeur — de y tirée de la 2* équation; ce qui conduit à

x* — ax* -f- b* — o.

Pour résoudre cette dernière équation, on pose r* = 2 ; elle devient

2* — az-f-ù*=o; d’où 2

= ïa~\/\a%-b'-

Désignant ces deux, valeurs de 2 par ni et n, on a z — x*=m, z = x’ = n , — a.

Si l’on prend x*=m,la valeur correspondante de y* déduite de x“+ y= a , sera y"= a — m = n, car m -f- n 5= a.

Si l’on prend xa= n , on aura y*= a — n — m.

Les quarrés des nombres inconnus sont donc m et n. On obtiendra donc tous les systèmes de valeurs de x et y , eu. posant

x' — m, y* = n; d’où (2)... xs=± l/ira, y — ±L [/ n.

Ces quatre systèmes de valeurs de x et y, satisfont à la condition xî-f-iy* = a, car m-\-n =: a.

Mais, la condition xy=zb exigeant que a: et y soient de mêmes signes (on suppose que b est positif), on ne peut admettre que les deux systèmes

(3) ... x = + V'm, yi=+ Vn II x— — V — ~ V n‘

Pour interpréter les deux.autrès systèmes . .

(4) ... x=-f [/ m, y— — y'n || x = — {/ m , y = -f >/n, ou observe que les valeurs de m et n ne renfermant que le quarré