CHAPITRE III

fe* , on serait conduit aux mêmes formules (2) en résolvant les équations

(5)... x' + y*=a, xy = -r- b.

Ces formules doivent donc fournir les diverses solutions des systèmes ( 1) et (5). Les relations (3) donnant xy — -\-b , conviennent aux équations Çi); et les relations (4) conduisant à xy — — b, conviennent aux équations (5).

Ier Exemple- Soient a =34, b — i5.

On en déduit ^a* — 6“ = 8 , m = z5, n = g.

Les formules (3) donnent x = 5, y = 3, et x— — 5, y= — 3. 2' Exemple. Soient a = 34 , b — — i5- Les formulés (4) fournissent les deux solutions

On pouvait prévoir que l’une des solutions des équations (1) étant de la forme x—p, y — q , l’autre serait x = — p , yt= — q ; car les équations (1) restent les mêmes quand on change à la fois les signes de x et y'.

Remarque. Lorsque, pour éliminer y entre les équations (1),

on a remplacé y * par sa valeur — tirée de l’équation xy =s b ,

on a réellement fait usage de la relation x*yû=J>’-, ce qui revient à élever au quarré les deux membres de l’équation primitive xy — b. Les valeurs (2) de x et y sont donc les mêmes que celles que l’on déduirait des équations

qui comprennent non-seulement le système primitif proposé, x*+y*=a, xy = b, mais encore le système

ra-f-y’E= a, xy=, — b.

On devait donc effectivement parvenir à toutes les valeurs de x et y qui satisfont à ces deux systèmes d’équations.

ai j ALGÈBRE.

2* Méthode. Les équations (i)-.. x* -f- y* = a , xy — b , peuvent servir à calculer la somme et la différence des inconnues x, y, car elle? donnent

x*-f-y*+ 2xy=ia -f- ib, x*+^* — xxy—a — zb, ce qui revient à

(x -j- y)* — a + ib , (x — ),)* = a — 2 b. '

Extrayant la racine quarrée des deux membres de chaque équation , et désignant par 2* et iG les valeurs arithmétiques de \Za-t-zb et l/a — 2 b, on aura

x -\-y — zhztt, x — y = ± 2?.

Les doubles signes + et — conduisent aux quatre systèmes

d’où

x+y=— »*, x—y — — iC ;

d’où

— («4-cj» r=

x+y=z + ia, x— y = — if;

d’où

x+y = — *x, x — y— + aC;

d’où

On voit que ces quatre systèmes ne fournissent que deux solutions du problème proposé ; car les deux nombres cherchés sçnt a -j- G et a — G , ou — (* + C) et — (* — G ).

i*r Exemplb. Soient g =34, i=i5.

On en déduit

et = 4, ® — 1 , a -j- £= 5, a — G 3.

Les deux nombres cherchés sont donc -f- 5 et ■+• 3, ou — 5

et — .3.

2* Exemple. Soient a — 34, b =. — i5.

On trouve *= 1 , 4, *+£=5, et — C = — 3.

Les deux nombres cherchés .sont donc -f- 5 et — 3 , ou — 5 et -f 3.

Remabque. Les valeurs j ^ a -f- 26, { [/a — o.b, de et et G , renfermant les premières puissances des données, a, b, les ex-