CHAPITRE III

ai3

pressions ± (* + £) > — (* — des inconnues x , y , ne peuvent convenir qu’aux équations (i) proposées; de sorte que la 2' méthode offre l’avantage de ne pas conduire à dès valeurs étrangères des inconnues , c’est-à-dire à des valeurs qui ne satisfont pas aux équations du problème.

103. En général , lorsqu’ en résolvant des équations littérales, on parvient à des valeurs des inconnues qui renferment les premières puissances de chacune des données j toutes ces valeurs des inconnues satisfont nécessairement aux équations proposées ; de sorte qu’on n’obtient pas de solutions étrangères aux équations. Quand les valeurs des inconnues ne contiennent pas les premières puissances de toutes les donnéesj on trouve plusieurs systèmes de valeurs des inconnues, dont les uns satisfont aux équations proposées, et dont les autres conviennent à d’autres systèmes d’équations ; de sorte qu’on obtient des solutions étrangères aux équations proposées.

Ainsi, dans les quatre premiers problèmes (pages ao5...2og), les valeurs des inconnues repfermant les premières puissances de toutes les données, toutes cea valeurs ont satisfait aux équations proposées.

Dans le 5' problème (pages 210 et 21 1) , la première méthode, ayant conduit à des expressions des inconnues x, y, qui ne renferment que lnquarré de b, on a trouvé deux systèmes de valeurs de xety», qui ont satisfait aux équations proposées x1-t-^'* = a, xy = b, et deux autres systèmes qui satisfont aux équations

La 2e méthode conduisant à des valeurs de x et y qui renferment les premières puissances des données a, b , toutes ces valeurs ont satisfait aux équations proposées.

$ III. Propriétés des trinômes du second degré.

104. Tout trinôme du second degré x% -J- px -f- q est le produit de deux facteurs du premier degré, , x — x', x — x*; et pour trouver ces facteurs , il suffit de chercher lés racines x', x", de l’équation x* -f- px -+- q = o , n° 91 (page ig5).

il 4 .. ALGEBRE.

Exemple. Soit le trinôme x* — 6x-f-8.

Pour le décomposer en deux facteurs', on fait

: = 4 e* xssa.

Les facteurs demandés sont x — ^ et x — 2.

Le produit de x — 4 Par x — 2 est effectivement x' — 6x-f~8.

1 o5. Quand ax2 -^-bx c est un quarré , b* — 4ac se réduit à

zéro , et la réciproque est vraie ; car les deux premiers termes

de la racine quarrée de ax2 -f- bx -f- c sont x\/a + ‘

le reste correspondant est

4 ac— b2

Va’

, et suivant que ce reste est

nulotf n’est pas nul , b2 — 4oc est nul ou n’est pas nul ; de sorte que ax2 -f- bx -f- c est un quarré on n’est pas un quarré.

106. Dans tout trinôme du second degré de la forme x2-\-px-\-q, f on peut toujours assigner une valeur réelle y de x qui rende le j*r terme x2 plus grand que la valeur absolue de la somme px-\^q des autres termes j et qui soit telle que toute valeur de x plus grande que y jouisse de la même propriété. On suppose que p et q désignent des nombres positifs ou négatifs.

Nous chercherons d’abord la valeur de x. qui donne

x2>px + q.

Si c représente la valeur absolue du plus grand des coefficiens p, q, on aura

ex -\-c~j>px-\-q. . ■ : .

Il suffit donc de rendre x* > ex -f c, ou x* > c (x 1).

. « q rx* — 1} 1

Ce qui revient à (1) ... x* > , car = x + 1.

Or, en supposant x > 1 , on satisfait évidemment à l’inégalité (1) en posant

cx% ,

x* — : d’oii x = c + 1 .

La valeur de x qui rend le 1" terme x 2 du trinôme x'-^-p r-\-q