CHAPITRE

plus grand que la valeur absolue de la somme px 4* qdes autres termes j est donc égale à la valeur absolue c du .plus grand des coefficient gj q^ prise positivement et augmentée de i .

Toute valeur de x plus grande que c -f- 1 Jouit de la même propriété ; car en représentant par C un nombre quelconque plus grand que c , la valeur de x qui rendra x* > Cx + C, donnera à plus forte raison

ci-f" c, x* > px -h ? >

et d’après ce qui précède ) on satisfait à la condition x* ^»Cx + C, en prenant x = C -+■ 1 ; ce qui revierit à donner à x une valeur quelconque plus grande que c+ i.

Lorsqu’on fait x — — z, le trinôme x*-J -px+'q devient z* — pz -j- q; la valeur absolue du plus grand des coefficiensp,. q, est toujours c; et d’après ce qui vient d’être démontré , la valeur 2 = c -f- 1 rend z* f> — pz + q , ainsi que toutes les valeurs de z plus grandes que c 4- 1 ; or x = — 2; par conséquent,, la valeur négative x = — (c + i) rend x1 > px -J- q , et toute valeur négative.de x , plus grande en valeur absolue que c 4- G. jouit de la même propriété.

Il résulte de cette discussion qu’en désignant par S' un nombre positif quelconque j et par c la valeur absolue du plus grand des coefficiens p, q, chacune des valeurs x = (c-f-i -{-J'), X = — (c-j- 1 + <1) rend positif le trinôme x* -f- px 4~ q et rend négatif le trinôme — xa 4" px -f- q.

Ier Exemple. Soit le trinôme x1 — 5x -f- 4-

On a, c=5 ; chacune des valeurs x=6-+- J1, x= — “(6-J-J), rend x* — 5x -f- 4 positif; car

x= 6 4- donne x* — 5x4-4 = ^'a + x = — (64-^) donne xa — 5x 4- 4 = + *7 ^ + 7°>

et étant positif, on voit que ces deux valeurs de x* — 5x 4- 4 sont positives.

Cela est d’ailleurs évident ; car x1 — 5x -f- 4 étant le produit de x — 1 par x — 4 > toute valeur de x plus grande que 6 rend ces deux facteurs positifs.

ALGEBRE.

2e Exemple. Soit le trinôme — 1‘ -f- 5x — 4-

On verra, comme dans le Ier exemple, que ce trinôme devient négatif, pour chacune des valeurs x= 6 x=— (6rf-<>') , quelle que soit la valeur- positive qu’on assigne à

107. Lorsque dans le trinôme ax‘-\- bx 4- c, le coefficient de x* est plus grand que zéro > il existe toujours une infinité de valeurs réelles de x j qui rendent ce trinôme positif et ces valeurs de x peuvent toujours croître jusqu à l’infini positif et négatif.

Cette propriété se déduirait de ce qu’il est toujours possible de rendre le i*r terme d’un trinôme plus grand que la somme des deux autres (n° 106). Mais on peut aussi la démontrer en décomposant ax% + bx -f-c en deux facteurs du Ier degré; ce qui offre trois cas.

Pour abréger, nous désignerons le trinôme par z.

l°. Lorsque les racines xj x", de l’équation î=o, sont réelles et inégales j on a

Toutes les valeurs réelles de x , qui ne sont pas comprises entre x' etx", rendent z positif; car les facteurs x — x', x — x", sont de même signe; ainsi x peut croître jusqu’à l’infini positif et jusqu’à l’infini négatif.

Toutes les valeurs réelles de x , comprises entre x' et x", rendent z négatif; car les facteurs x — x', x — x", sont de signes contraires.

20. Lorsque les racines x', x", sont égales > on a z=a(x — x')1, et il devient évident que z reste constamment positif, lorsque x croît sans interruption depuis — 00 jusqu’à -f-00.

3°. Quand les racines x', x“ , sont imaginaires j on peut toujours ramener le trinôme à la forme (1)... zz=a[(x—

On voit que z reste constamment positif, pour des valeurs réelles quelconques de x depuis — 00 jusqu’à -+ 00.

Remarque. Dans ce dernier cas, la relation (1) fait voir qu’if existe toujours une valeur réelle de x qui rend le trinôme le plus petit possible. Cette valeur est x = «; elle donne a C* pour le Minimum de z.