CHAPITRE III. ai
Par exemple, soit z = x’ — 6 r- -)- 8 4 1
cela retient à a = (x — 3)’ -f- a5.
La valeur x = 3 donne 25 pour le minimum de z.
1 08. Lorsque le premier terme d'un trinôme — ax*-\- bx -f- c est négatif j il se présente trois cas :
i°. Si les racines x' , x" de l’équation — ai’ -f- bx -f- c = o, sont réelles et inégales , en désignant le trinôme par z, on aura
Cette égalité démontre que toute valeur de x comprise entre x' et x" rend z positif , car x — x' ét x* — x sont de même signe ; tandis que toute valeur de x , non comprise entre x' -ctx*, rend z négatif, puisque x — x' et x" — x deviennent de signes contraires.
Remarque. Il existe toujours une valeur finie de x qui fournit la plus grande valeur positive de z ; car la somme des facteurs positifs x — x' , x"— x; étant constante, on obtiendra cette valeur de x en posant
x — x = x' — x (n° 102) : d’où X— - (x'-f- x").
Le maximum de * sera a
2°. Si les racines x', x", sont égales j on aura
Cela démontre qne toutes les valeurs réelles de x rendent z négatif, à l’exception de la valeur x =?x' qui donne z=o.
3°. Enfin, suies racines x', x”, sont imaginaires, oti aura
z — — a [(x — Ca],
et par conséquent, toute valeur réelle de x rçndra constamment z négatif.
10g. On peut déterminer directement les valeurs réelles de x qui fournissent la plus grande ou la plus petite valeur positive du trinôme ±az‘+èx+c, sans qu’il soit nécessaire de décomposer ce trinôme en deux facteurs.
aj8 ALGÈBRE.
A cet effet, on égaiera- le trinôme proposé à une indéterminée a, on en déduira x eu fonction de a; et x -devant être réel , il sera facile de découvrir le maximum ou le minimum de z.
i°. Soit -j- ax“ -4- ôx 4-c = a.
On en tire x = — ( — b ±. ÿ b 2 — /Lac + 4 aa). a a
x devant être réel et z étant supposé positif, z ne peut avoir une limite que lorsque b * — 4 ac est une quantité négative — •«*; dans ce cas, les racines de l’équation uxa -J- bx + c = o, sont. imaginaires j et on a
x = — ( — b ±. V 4ffi — «■*)•
Il devient évident que l’hypothèse 4 az — ct‘, fournit la plu*
2°. • Soit — axl + bx •+■ c = a.
petite valeur de a; la valeur correspondante de x est ■
On en tire x = — (b ± y' b' 4- 4ac — 4°*)*
ia
Ces valeurs de x doivent être réelles, et l’on suppose que z est positif. Par conséquent, z ne peut avoir une limite que lorsque b‘ -f- \ac est positif, c’est-à-dire quand les racines de l’équation — ex” ~f-èr-f-c = o, sont réelles; et dans ce cas, l’hypothèseb‘ 4ac — 4az = o, fournit la plus grande valeur positive
