CHAPITRE IV

Ainsi, \/asz=a', \ZaPn = ar.

2°. Pour trouver la racine n‘imt d'un produit, il suffit d’extraire la racine n'u‘ de chaque facteur.

Ainsi , V a‘b3ci —\/ a? V b3 \/ c' = abc,

V/ô"6" =V/““ V/^k = ab,

\/ abc = \é a X }/b X Ve- On peut démontrer directement cette dernière propriété;' car

la niimc puissance du prod.uit \/aX \Vb X c étant,... (W x' (W X ( > ou oXiXc, il s’ensuit que

la quantité |/sXV^X l/c exprime la racine nw“* de <J X b X c ; de sorte que

1/âxiXe =»/âx X l/c.

3°. Pour obtenir la racine ni>me du produit de plusieurs quantités affectées d’ exposons , o» extrait la racine nilm‘ du coefficient numérique , et on divise, chaque exposant par n. Cela résulte de (2°)"e t (i°).

Ainsi, \fQxaibio—V^'1 Ÿ a* y/ ba° — 3a'bi.

If. On trouve la racine niiK‘ d’une fraction en prenant séparément la racine n‘ime du numérateur et du dénominateur.

fa' {/a3 a

fa" \/ a» a

1 1 3. Quand tous les exposons des quantités qui sont sous un

jaü ' ALGÈBRE.

radical ne sont pas divisibles par l’indice de ce radical , l’extraction indiquée ne peut pas s’effectuer exactement ; on réduit alors le radical à sa plus simple expression , en faisant sortir de dessous le radical tous les facteurs qui ont des racines exactes. Ainsi ,

\/ 4oa468= J/ 2ia366x5a6*= \/ 23a3i>GX V' 5ab*=2ab* \/ 5 ab‘.

Tant qu’on ne donne pas des valeurs particulières à a et b, on ne peut pas réduire le radical à une forme plus simple.

En générai : Pour réduire un radical du nlim‘ degré à sa plus simple expression j on décompose en ses facteurs premiers le coefficient numérique dn monome placé sous le radical ; on divise ensuite par n tous les exposans des facteurs monomes, ce qui fournit des quotiens entiers et des restes correspondons moindres que n. Il est alors facile de décomposer la quantité placée sous le radical en deux facteurs, dont l’un ne renferme que des exposans divisibles par l’indice n du radical , et dont l’autre renferme des exposans moindres que n. La racine niim‘ du Ier facteur, multipliée par la racine indiquée dit second facteur , détermine la plus simple expression algébrique du radical proposé.

Exemple. Soit 64 oo6’7c’3.

On décompose 64oo- en ses facteurs premiers , d’après la méthode indiquée ( Arith.j n° 48). On trouve que 64oo=28x5*; de sorte que

v/ 64ooè'7c13 = l/î’xü ’X^’X c'3.

On d ivise les exposatis 8, 17, i3, par 3, ce qui fournit les quotiens entiers 2, 5, 4 et les restes 2, 2, 1. On en déduit que

8 = 3xj+î, 17 = 3x5 + 2, i3 = 3 x 4 4* ••

28 = 23X!H-* = 23x,X2‘, b'7 = b3xà+‘ = b3xS Xb\

c.>=ci*i+. = ci*(j<Ci

Le radical devient

CHAPITRÉ iy.

p/ (2 'X*/,3X5C3X4) X ('2a X 5“ X AV) , OU

\/ 23x*63X5c,X4 X 1/2“ X 5* X AV. '

Ce qui se réduit à 2,A5c*p/,iooé“c.

Pour faire sortir un facteur de dessous un radical du nUm‘ degré j il suffit d'extraire la racine nUmt de ce facteur ; et réciproquement, lorsqu'on veut faire passer vous un radical du n,/me degré un facteur placé hors de ce radical , on élève le facteur à la n,,m‘ puissance; -car

\/ aP* X A = y/aT X \Zb = a>yb, et a’\/i = p'V-'x A. Par exemple , '

V/ uBoa = a'y b* et a1 = p/ (aa)3A* = p''" a#A*.

1 14. La plupart des extractions de racines ne pouvant pas se faire exactement , et le calcul des valeurs approchées des racines incommensurables étant très long, on a cherché à effectuer, sur les quantités soumises aux signes des radicaux , les opérations indiquées sur les racines de ces quantités ; on réduit ensuite les derniers résultats à leurs plus simples expressions algébriques, par la méthdde du n° n3.

lorsque les quantités placées sous des radicaux du même degré sont les mêmes, on dit que ces radicaux sont semblables , et quand ces deux conditions ne sont pas remplies, les radicaux sont dissemblables. Cela posé:

i°. L'addition et la soustraction des radicaux semblables s' effectuent sur les coefficiens de ces radicaux ; car 011 peut regarder le radical comme une certaine unité qui est répétée un nombre de fois marqué par le coefficient de chaque radical. Ainsi,

8[/a-\-5V a=i3y a, iby1 a — 3c y a=(2A— 3c) y a.

2°. Quand des radicaux réduits à leur plus simple expres-

ALGEBRE.

sion sont dissemblables , on ne peut qu’indiquer t addition et la soustraction.

Ainsi, la somme des radicaux

2 a\/ ab% , 5a l/ ab est 2a[/ ab* 5a[/ ab ,

et leur différence est 2a \/ ab * — 5 a^/ab.

3°. Pour multiplier entre eux des radicaux du mime degré, il suffit de former le produit des quantités qui sont sous les radicaux-, et de mettre ce produit sous un radical du mime degré ; car on a démontré (page 221 , 20), que .

V/aX l/iXl/c=V/“XiXci Cett.e règle générale donne

\i loaV’X y/\a’b6 = y 4oa+^8 =• 2ab* ÿ 5ab*,

2a t/ 3aa63X 36V y/ ^alb7d~(3ab'‘c \/ 2ia56'°c/=6aW\/2ic/.

4°. La division de deux radicaux du même degré l’un par l’autre s’effectue en indiquant la division des quantités placées sous ces radicaux et en mettant le quotient sous un radical du

mitne degré y car la n,imr puissance de —g— étant ou - »

la quantité exprime la racine /»**"* de de sorte que

AM. E^*=v/S:=/55î-=AV4r,

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