CHAPITRE IV
Or, d’après le principe établi (page 2a5, 5°) , on a
mn 'n f mn \n m
. Va" = Va.. Donc (2) . . . . V V~a J = Va.
Les identités (1) et (2) démontrent les propriétés énoncées.
Remarque. Pour former la niim‘ puissance de la quantité monôme placée sous le radical, on élève le coefficient numérique de ce monome à cette puissance , et on multiplie tous les exposa ns par A ; ce qui est toujours possible.
On trouve de cette manière que
( == V 7 W° = Vfoa'b'° = ab3Vfaû> *
• ( V 7 = V 7 a3 b* = ab I/7Ï.
9°- Pour trouver la racine niim‘ cfun radical, on extrait la racine nUm‘ de la quantité qui est sous le radical , ou on multiplie l’indice du radical par n. Cela résulte du principe précédent.
On peut démontrer directement ces propriétés. En effet ,
si » désigne la racine niimt dé V a , la niimt puissance- de « sera
égale à j/a, (u° lia).' Donc
La racine mlimt de a étant a", la miim‘ puissance de «" ou «■»*, doit être égale à a, (n° 1 la). Donc
d’où
. mn
La racine n',m de V a est donc V a-
m mm m
Par conséquent , la racine nUm‘ de V a° est V a", ou Va.
Ce qui démontre les propriétés énoncées,
Remarque. Pour obtenir la racine hUmt du monome placé sous le radical , on extrait la racine nt,m, du coefficient numé-
ALGEBKE.
rique de ce monome, et on divise tous les cxposans des facteurs monomes par n. Quand ces deux opérations ne peuvent pas s’effectuer exactement , on obtient la racine niim‘ du radical en multipliant son indice par n.
On trouve de cette manière, que la racine cubique de
\/8a 3b6 est 1/2 ab* , car ySa’b6 = zab* ,
Pt que la racine cinquième de l/ yê'b7 est y ycfb7.
Pour obtenir la raciüc quatrième de 2 ab*ÿ 'jafrc, on fait d’abord passer le facteur 2 ab'Â sous le radical, en l’élevant à la 5* puissance (page 223) ; le radical proposé devient
l/32n56‘° X 7<ï6“c ou y 22^abb'“c,
et sa racine quatrième est \/ 224 a66‘"c.
Pour indiquer la racine n'lm‘ de ÿ a, on écrit De sorte que
I m nm /
m mn m
\/aFi — yâ^= y1 ai.
Quand l’ indice d’un radical est le produit de plusieurs facteurs j on obtient la valeur de ce radical , en extrayant successivement les racines des degrés marqués par ces facteurs j cela résulte de la formule (1).
Par exemple, le nombre 6 étant le produit de 2 par 3, on obtient la racine 6' de 64 en prenant la racine 2e de la racine 3* de 64 , ou en prenant la racine 3e de la racine 2“ de 64.
1 15. Nous n’avons considéré jusqu’ici que Ifs valeurs arithmétiques des radicaux ; de sorte que chaque radical, n’avait qu’une seule valeur. Mais, il résulte des propriétés énoncées dans le n° ni (5°) que lorsqu’on a égard aux signes -f- et — , un radical peut avoir deux valeurs réelles ; car d’après ces propriétés :
