CHAPITRE IV

l®. Toute racine de degré pair d’une quantité positive, a deux valeurs réelles égales et de signes contraires. Ainsi,

V/i6 = rt 2, [/ a‘‘J = ± a', j/ iba,2b — ±.aa3{/b.

2°. La racine de degré pair d’une quantité négative n’a aucune valeur réelle ; car toute puissance paire d’une quantité positive ou négative, est une quantité positive. On dit par ce motif que cette racine est imaginaire.

Ainsi, \/ — 16 est imaginaire.

3°. Toute racine de degré impair d’une quantité positive ou négative a une seule valeur réelle , qui est de même signe que la quantité.

Ainsi, |/ —J- S =4-2, y/ — 8 = — 2.,

\/ 8ab = 2 a‘ , y' — 8a6 = — 2a*.

4®. Un radical de degré impair conserve sa valeur , lorsqu’on change à la fois le signe placé hors du radical et de signe de la quantité qui est sous le radical. Cela résulte de (3°J.

Ainsi ,

116. On a démontré (n° ; 12, i°) que pour extraire la racine nl/m‘ de am , il suffit de diviser l’exposant m par n.

Quand le quotient est un nombre entier q , la racine n,im‘ de am est ai.

Lorsque m n’est pas divisible par n, on ne peut pas obtenir la valeur exacte de la racine demandée, et au lieu d’indiquer

cette racine par. le radical y/ am, on peut affecter a de l’ejr-

TTl n m

posant fractionnaire — . De sorte que \/ am et o" indiquent

également la racine nUmt de am.

Il en résulte que la nUm‘ puissance de chacune des quantités

y/ a", a" est a1".

Par exemple, 7 n’étant pas divisible par 4, la racine quatrième de a 7 n’est pas exacte;- mais en indiquant la division de 7 par 4, l’exposant de a dans la racine cherchée, devient un

nombre fractionnaire ^ ; de sorte que y a7 et aï indiquent également la racine quatrième de a7.

11 7. L’emploi des exposans fractionnaires étant très commode dans les calculs, nous allons démontrer que Us règles relatives aux exposans ■ entiers , conviennent aux exposans fractionnaires.

Nous prouverons d’abord qu’on a

(i)...fl,Xfl* = ûm *, am a" = am ”, Va'V=»à”‘.

En effet, les principes établis (n“ 114,7“, 3° et 4°) , donnent

■» • mn m m ai . / » \n •

(a;... [/ ârx 1/ "+•/"•, \/ aP :

et la transformation de ces radicaux en exposans fractionnaires conduit aux relations (1).

Par exemple, la relation

conduit à

\ /af X V al —

L i Pn~Hm ££.,!££ r , y a” X a*=ïa 1,1 * = am” m*=am n .

La formule (3)... ~ =<z * convient, au cas où « désigne un c *

nombre fractionnaire quelconque. En effet; soit — — - =»,

on aura

am : a* = am “ = a“, a" ; a“ = a" " = a

Multipliant ces équations membre à membre , et observant que le produit des premiers membres se réduit à l’unité , on aura la relation