Toutes les puissances entières positives des quantités

ALGEBRE.

plus grandes que l’unité, sont plus grandes que l’unité et ont des valeurs d’autant plus grandes , que ces puissances sont plus élevées. Les valeurs des puissances entières positives des quantités moindres que l’unité, sont moindres que l’unité , et sont d’autant plus petites, que les puissances sont plus élevées; car en supposant «)> » , G <( i , on a ( Aritli page 56, 3e remarque )

« X a > <*, ou a“ )> * ; X « «a, ou a3 ]> *a etc» ,

G X. G <^G , ou ; G* X G <Ç G”, ou G3 < G* ; etc.

120. On peut toujours donner à l’exposant n une valeur finie assez grande , pour que et" soit plus grand qu’une quantité donnée i', et que Gn soit moindre qu’une quantité dorinée 6.

Pour démontrer ces propriétés, nous prouverons d’abord que n désignant un nombre entier positif, on a toujours

C1 + y)" > 1 + ny.

La formule (i) du n° 29 (page 33), conduit à l’identité

(0--» X~!' ~xn~' + xn-,‘+.'. »+X + 1.

Si l’on suppose a?> 1, chacun des termes x”l, i"-1, .... x , sera plus grand que 1 ; le 2e membre de l’identité (1) étant composé de n termes, sera donc plus grand que n. Donc

JP® mmmm J \

]> n ; d’où ar“ > 1 ■+• n(x — 1).

Faisant x — 1 -j~y , l’inégalité xM > 1 -f- n (x — 1) devient (1 + y)" > i +ny.

Cela posé : i?. soit «=1+7.

Pour obtenir la valeur de n qui rend <en > il suffit de satisfaire à la condition 1 -+■ ny S'-, car (1 +7)" ou «“ étant plus grand que x + ny, on aura à plus forte raison *" > i'.

Or, l’inégalité 1 + ny ^ donne n> .

Par conséquent, toute valeur entière de n plus grande que

la quantité finie , rendra ** plus grand que J*.