CHAPITRE IV

2°. Soit G<^ I. 'On pourra mettre G sous la forme -, a. désignant une quantité plus grande que l’unité. L’inégalité

£»< 8 déviendra Q) <«, ^ <«,

et cl étant plus grand que l’unité, on a vu (i°) comment on

détermine les valeurs finies de n qui rendent a" > 4. .

D’après cette discussion, si l’on représente par a une quantité quelconque plus grande que l’unité , et par G une quantité positive moindre que l’unité ; lorsque l’ exposant n croît indéfiniment en s' approchant de l’infini j la valeur de a." augmente indéfiniment et tend vers l’infini j tandis qu’au contraire G" diminue en s’approchant indéfiniment de zéro. Enfin > à la limite j lorsque n=^oo, on a u"z=co) Gn = o.

121. Lorsqu’on extrait d’un nombre positif des racines dont les degrés croissent indéfiniment , les valeurs arithmétiques de ces racines approchent indéfiniment de f unité.

Il s’agit de faire voir qu’on peut toujours prendre un indice

n assez grand pour que \/ a diffère d’aussi peu qu’on voudra de l’unité.

i*r Cas. Soit a > i , on aura a = i + a , <*>ô.

•: Jfrsàt >4ÿat *«.t»

Nous observerons d’abord que la valeur de \/ a est plus grande que l’unité ; car élevée à la nUmr puissance, elle doit donner une quantité a plus grande que l’Unité.

D’ailleurs, quand n augmente j \/ a diminue ; c’est-à-dire qu’on a

car en réduisant les radicaux au même indice, l’inégalité (i) devient

Va' < Va«+'-, d’oà a"<a1,+’,

‘L, ; -v* rcfr* •

et on a vu ( n° 1 19 ) que cette dernière inégalité est vraie.

Cela posé : puisque y/i +* ]> i , on a V/i+a=r+i; d’où i 4* « = ( i -f- b)n. Or ( i 4- 6)* > i -f- nb (n° 1 ao) ,

donc » + a > i +nô ; donc ù < î et J -f- b < 1 + -•

fl - n

Par conséquent, ^ i + « <C 1 + -•

Cela démontre la propriété énoncée; car <t étant dopné , on peut toujours prendre n assez grand pour que ^ soit aussi petit qu’on voudra. •

2e Cas. Soit a <j i.

Nous observerons d’abord que la valeur de \/ a sera moindre que l’unité; car élevée à la nitm' puissance, elle doit

donner un nombre a moindre que l’unité.

D’ailleurs, quand n augmente; \/ a augmente; car l’iné— ■ galité

l/a > \/ a conduit àa"> a""w ,

et l’on a démontré ( n° 119) que cette dernière inégalité est vraie , quand a < 1.

Ctla posé : le nombre a étapt moindre que 1, on peut le mettre

sous la forme sorte que

, a désignant une quantité positive. De-

Or, on a démontré dans le Ier cas qHe l’on peut toujours

prendre n assez grand pour que 1 -f- u diffère aussi peu

qu’on voudra de l’unité ; la valeur correspondante de [/ a jouira donc de la même propriété.