CHAPITRE IV

Il résulté de cette discussion que a désignant un nombre po-> sitif quelconque, plus grand ou plus petit que l’unité , la valeur

de l/a se réduit à l’unité quand l’indice n • devient infini.

Remarque. On peut déduire de ce qui précède-, que la valeur de um se réduit à l’unité j quand l’exposant m devient zéro ; car en faisant

m — - , d’où am = <tn — l / d,

on voit que si n augmente et approche indéfiniment de 4* oo , l’exposant m diminuera et approchera indéfiniment de

zéro, et [/a ou an approchera indéfiniment de l’unité ; de sorte qu’à la limite, = i.

Nous sommes parvenus par d’autres considérations à la relation «°=i, (page 4^ , i°).

§. II. Puissances des Polynômes. Combinaisons.

1 22* La multiplication donne le moyen de déterminer les puissances entières positives des polynômes, car il suffit de former le produit d’autant de facteurs égaux au polynôme donné, qu’il y a d’unités dans l’indice de la puissance.

Ainsi, en multipliant x -J- a par x + a , le produit ** + 2 ax -(- a’ exprime la deuxième puissance ou le quarrê de x -f- a. Si l’on multiplie x 1 + 2 ax -f- a1 par x 4~ a , le produit x3 4~ 3axa 4- 3aax 4- a3 sera la troisième puissance ou lé cupe de x 4" a. Et ainsi de suite.

Ce procédé ayant l’inconvénient de faire dépendre une puissauce de toutes les précédentes, nous allons chercher une-formule pour calculer directement la m,im‘ puissance du binôme x -f- a, lorsque m désigne un nombre entier positif quelconque.

Nous en déduirons la m,im‘ puissance d’un polyneme.

Les premières puissances de x 4- a suffiraient pour faire connaître la loi des exposans de x et de a dans le développement

a36 ALGÈBRE.

<le ( x -+- <* )m j mais on n’aperçoit pas la loi des coefficiens numériques , parce que ces coefficiens résultent des réductions qu’entraîne l’égalitc des facteurs.

Pour éviter ces réductions, nous chercherons d’abord la forme générale du produit de m binômes x -f - a , x -\ ~b,x-\- c, etc. Quand ce produit sera connu , nous en déduirons la mUn' puissance de x+« en supposant que les m seconds termes a, b, c, etc., deviennent égaux à «.

123. Si l’on multiplie entre eux les binômes x -f- a, x + 6, x + c , etc. , on trouvera que le produit de x -f -a par x -f- b est

x1 -f- ( a -{- b ) x -f- ab ,

que celui des facteurs x a , x -f- b , x -f- c , est

x’.-f- ( a + b + c )xa -f- ( ab -f- ac -f- bc )x -H abc.

Multipliant ce dernier produit par x -f -d, on verra que le produit des facteurs x -f -a, x -f- b, x -f - c, x -f - d, est

x3-(- ab

x* -f- abc

-J- ac

-j- abd

-)- ad

+ acd

-f- bc

■ + bed

-f- bd

+ cd

x-}- abcd (*).

Et ainsi de suite.

, On en déduit, par analogie , que dans le produit de plusieurs binômes x a j x-f -b, x + c , etc. j l’exposant de x dans le lec terme est égal au nombre des binômes , et les exposons de x dans les termes suivans diminuent Successivement d’une unité j jusqu’au dernier terme qui ne renferme pas i, et qui peut être considéré comme le coefficient de x°j car x* = l. La loi des coefficiens de x n’est pas moins évidente ; le coefficient du lw terme est l’unité , celui du 2e terme est la somme des Seconds

(*) Dans cette expression, le coefficient dex* est a-t-i-f-c-f-d; celoi dex* est ab-t-ac+ad+bc+bd-bcd, et celui dex est abe-t-abd+acd-t-bed. On fera sauvent usage de cette notation.