CHAPITRE IV

termes des binômes , le coejjicie n t du 3" terme est la somme de tous les produits deux à deux de ces seconds termes ; le coefficient du 4* terme est la somme de tous les produits trois a- trois des seconds termes des binômes ; et ainsi de suite , jusqu au dernier terme qui est le produit de tous les seconds termes des binômes.

Pour démontrer que cette loi est générale , il suffit de feire voir que si elle est vraie pour m binômes , elle sera encore vraie pour m+ i binômes; car ayant été vérifiée pour quatre binômes, elle conviendra au produit de cinq binômes:- partant de ce dernier produit, la loi indiquée sera vraie pour six binômes; et ainsi de suite.

Cela posé : quand la loi assignée convient au produit des m binômes x + a, 'x + b x + k, ce produit est de la forme

XM+plXmr~'+p% Xm-Î+. ■ .+Pn-lXn~‘+'+PnXm~n+- ■

p , représente la somme des m seconds termes; pa désigne la somme de leurs produits a à 2 ; et en général , pn exprime la somme de tous les produits n à n des m seconds termes.

Multipliant ce polynôme par x -4- /, on trouve que le produit des m -f- i binômes , x -f- a, x + b. . . , x + k, x + l, est

I,+‘+(P,+^'+- • • .-Hpn+lpn-s)xm~*+‘+. . .+lpm.

La loi des exposons de x n’a pas changé ; car l’exposant de x dans le itr terme est égal au nombre m -f- i des facteurs binômes, et les exposans de x dans les termes suivans diminuent successivement d’une unité, jusqu’au dernier terme qui ne contient pas x , et qui peut être considéré pomme affecté de x°.

La loi des coefficiens n a pas changé. En effet; dans le produit des m binômes x + a , x + b ,. . . , x + k, le coefficient p„ du (n -J- terme (étant la somme des produits n à n des

ni seconds termes a, b ,. . ., k, il en résulte que dans le produit des m -J- i binômes x-\-a,x-\-b,...,x-\-k,x-{-l, le coefficient (p* -f- lpn- ,), du terme de même rang, est la somme des produits n à n des m -+■ i seconds termes a, b,. . k, l\

car p„ exprime la somme des produits n à n dans lesquels l n’entre pas, et étant la somme des produits n — i an — t des m seconds termes , a, b,. . . , k , le produit de p»i par l, donne les produits n k n dans lesquels / entre; de sorte que

Pn -h ïp* i est la somme des produits n a n des m + s seconds

termes a, b . ., k, l. Par conséquent, si la loi énoncée a lieu pour m binômes, elle conviendra au produit de m + i binômes ; cette loi est donc générale.

124. Lorsque les m seconds termes a, b , c , sont égaux à * t le produit

xm+p,xm~' +p1Xn,s+ ... + PnXm~m 4- ••• +Pm,

des m binômes x -{• a , x b , . . . , x k , devient la mitme puissance de x -f- «; il s’agit donc de trouver les valeurs correspondantes des coefficiens p, , p, , p3 , . . , pa.

Le coefficient p, de xm~‘, qui exprimait la somme des m seconds termes a , b , . . . , k , devient « + * -f- etc. , ou et répété m f6is, ou et m. ;

Le coefficient p„ qui exprimait la somme des produits deux à deux desm seconds termes a, b,... ,k, devient aa~f-**-j-«”-j-etc., c’est-à-dire répété autantde fois qu’il y avaitde produits deux à deux ; désignant ce nombre inconnu par Z>, , on a pa =«‘Xà,.

Nommant 63 , 64 les nombres des produits différens

de m lettres prises -3 à M », on voit que la

mUr“ puissance de x -J- a. est

Xm+ m*Xm-‘+Ket,xm-i+ b3*'jçm~3+. . .+bnanxm~n+...+mm.

La question est donc réduite à trouver les inconnues 6, , 63 , . . ., bn -, lenr détermination dépend de la théorie des combinaisons j que nous allons exposer, en nous bornant à ce qui nous est ici nécessaire.

125. Les divers arrangemens qu’on peut former en disposant des quantités différentes; 2 à 2 , où 3 à 3 , ou etc., sont les combinaisons 2 à 2 , ou 3 à 3 , on etc. , de ces quantités.

Ainsi, les combinaisons 2 à 2, de a, b , c, sont ab, ac, ba , bc , ca et cb.