CHAPITRE IV

Les quantités a,b,c, multipliées a à 2 , ne donnent que t/ois produits différens ; car les produits ba,ca , cb , sont respectivement égaux aux produits ab,ac, bc.

Lorsque toutes les quantités que l’on combine entrent à la fois dans chaque arrangement, ces combinaisons prennent le nom de permutations.

Ainsi , les permutations du produit abc sont abc, acb , bac, bca , cab , cba.

Ces six permutations out la meme valeur numérique (n° 12).

Cela posé :

i°. Occupons-nous d’abord des combinaisons de m lettres.

Pour former toutes les combinaisons 2 à 2 , on met successivement à la suite de chaque lettre, chacune des m — 1 autres; de sorte que chaque lettre occupant la t” place, détermine m — i combinaisons; le nombre total des combinaisons 2 a 2 de m lettres est donc m fois (m — 1 ).

Par exemple, soit m = 4; ou trouve que le nombre des combinaisons 2 à 2 de 4 lettres est 4x3 ou 12. Et en effet, ces combinaisons’ sont

ab, ac , ad ; bd, bc, bd-, ca, cb, cd-, da, db, de.

Connaissant les combinaisons 2 à 2 de m lettres, on en déduit les combinaisons 3 à 3 des mêmes lettres en plaçant successivement à la suite de chacune des combinaisons 2 à 1, chacune des m — 2* autres lettres ; l’une quelconque des combinaisons 2 à 2 , donnant m — 2 combinaisons .3 à 3 , les m(m — 1) combinaisons 2 à 2 de m lettres, fourniront m( m — 1 ) fois (m — 2) combinaisons 3 à 3.

On trouve de cette manière que les quatre lettres a,b,c , d , prises 3 à 3 , fournissent les 24 combinaisous

abc, acb, adb, bac, bca, bda, cab, cba, eda, dab, dba, dca,

abd, acd, ade, bad, bcd,bdc, cad, cbd, cdb , dac, dbc, deb .

Les combinaisons 4 à 4 se déduiraient semblablement des combinaisons 3 à 3; on trouverait que leur nombre est égal à m(m — 1) (ni — 2) (m— 3). Et ainsi de suite.

a°. Passons aux permutations.

Deux lettres a, b , donnent les deux permutations ab,ba.

Pour former les permutations abc, acb , bac, bca, cab, cba, de trois lettres a, b , c, on place successivement à la suite de chaque lettre, les permutations des 2 autres lettres ; de sorte que chaque lettre occupant la 1" place donne 2 permutations de 3 lettres; les 3 lettres fourniront donc 3 fois 2 , ou 6 permutations.

Pour en déduire les permutations de 4 lettres, on met successivement à la suite de chaque lettre , chacune des 2 X 3 ou 6 permutations des 3 autres lettres; Le nombre des permutations de 4 lettres est donc 4 fois 2 X 3 , ou 2 X 3 X 4 1 ou 24 ; et en effet, ces permutations ainsi formées sont

abcd, abdc, acbd, acdb, adbc, adcb, bacd, badc, bcad, bcda, bdac, bdca, cabd, cadb , cbad, cbda, cdab, cdba, dabc , dacb , dbac, dbca, dcab , dcba.

On verrait de même que le nombre des permutations de 5 lettres est 2 X 3 X 4 X 5 ou 1 20. Et ainsi de suite.

3°. Le nombre des produits de m quantités prises 2 à 2 , ou 3 à 3 , ou etc. , se déduit de ce qui précède. En effet :

m quantités donnent m(m — 1) combinaisons 2 à 2 ; or un produit ab fournit deux permutations ab, ba; lé nombre des

produits 2 a 2 est donc ~ m{m — 1) ou —

De même, m quantités prises 3 à 3, déterminent

m(m — 1) (m — 2) combinaisons, et chaque produit de 3 facteurs fournil 1 X 2 X 3 permutations ; le nombre des produits m(m — 1 ) (m — 2)

Et ainsi de suite:

Par exemple , soit m = 4» on trouve que le nombre de pro-

duits 2 à 2 de quatre quantités est -L— ou 6, que celui des

produit* 3 a o est — — — 3-5 ou 4*

3 à 3 est donc

CHAPlTttfi IV.

CHAPlïttÉ IV. 24 1

126. D’après les lois indiquées par les formules précédentes, on voit qu’en désignant par <■„ le nombre des combinaisons n à n de ni lettres, par p„ le nombre des permutations de n lettres, et par b„ le nombre des produits n 'a n de m lettres, on aura

(2) pn= IX*X3X . • X(n — 2) X (n— O X n, '

L m(m — 1) (m — 2} . . . (m— 71+2) (m— rç-f 1) .

On peut démontrer directement ces formules , sans avoir recours à l’analogie. En effet : supposons que l’on combine m lettres.

i°. Le nombre c„ des combinaisons n h n serait facile à déterminer si l’on pouvait le faire dépendre du nombre c„, des combinai sons '/i -1— 1 à n • — 1: car par la même raison, cn, dépendrait successivement de c„a , dé c„ 3 , . . . , de c„ , de c, , et il est -évident que le nombre c, des combinaisons de m lettres prises une à une, est m, /

La question se réduit donc à trouver la relation générale qui existe entre c„ et cB,.

Pour déduire les combinaisons n à n, des combinaisons n — 1 à n — 1 , il suffit de mettre successivement à la suite de chaque combinaison de n — 1 lettres, chacune des m-— [ri^ r) lettres qui n’entrent pas dans cette combinaison ; de sorte qu’en plaçant successivement à la suite d’une combinaison île n — 1 lettres , chacune des"m — (n — • 1) autres lettres , on obtient les m — n -f- 1 combinaisons n à n, qui commencent pjjr cette combinaison de n — 1 lettres. Chacune des combinaisons n — 1 à n — 1 , fournit donc 771 — (ti — 1) ou m — n — (— 1 combinaisons 7i à 7i ; les cr, combinaisons n — ï an — 1 , donnent donc c«, fois 771 — n + 1 combinaisons 7» à n; et comme on obtient ainsi toutes les combinaisons n a n -, la relation cherchée ëst

Pour obtenir une valeur de c„> qui ne dépende que des seules quantités ni , n , on remplace successivement 7» , par n, n — 1 ,

2^2 ALGEBRE.

n — a , . . , 3 et a ; la relation (4)- donne

CH i = ( m . n + 2) Ch— t ,

= (m — 2) Ct,

Pour éliminer c,,, , c„,,..., cj, c, etc*, on multiplie ces équations membre à membre, et on remplace c, par sa valeur m; ce qui conduit à

cn = (m — n -f î) (m — n + 2) .... (m — 2) (m — i)/n.

Les facteurs de c„ écrits dans un ordre inverse, donnent la formule (1).

2°. Les permutations n’étant que des combinaisons dans lesquelles toutes les lettres entrent à la fois , le nombre/?,, des permutations de n lettres, peut se déduire du nombre c„ des’&mhinaisons n à n de m lettres, en faisant m==n dans la valeur de cn ; ce qui donne la formule (^J.. '■

3°. Enfin , pour trouver toutes- t&éomhirïïfesons n à n de m lettres, il suffit de prendre les.pit&luits n à n, et de les permuter de toutes les manières possibles, ©r , chaque produit de n lettres donne p„ permutations; les ^« produits n à n déterminent donc b„ fois pn jsqmbinaisons n à n ; mais cn désigne: ce dernier nombre de coml$Mrisons ; donc p,Xii = c,. • *

On en déduit la valeur (3) de b„ en substituant les valeurs

(1), (2) de cn et pUH ’ ;

„ , . mtrrtr¥>i)(m — a — n-f-i)

Remarque. Laformule(3)... bn— — — 5 — -