CHAPITRE IV

127. Si l'on donne successivement à n ies valeurs 2,3, etc. , la formule (3) conduira aux relations

t m(mb% —

La substitution de ces valeurs dans l’expression

xm-f -f- b%alxm~' ‘4- 5-+-etc.,

de (x+et)"1, conduit à la formule '

, . , . . . , mlm — 1) . mlm — iV/n — a) .

i -iî — - — ' -i. etc.,

qui est connue sous le nom de formule du binôme de Newton ; elle sert à calculer directement toutes les puissances entières positives d‘ un binôme.

Exemple. Soit m= 5. On trouve

(x -f- »)s = x5 -f- r 4 + 1 oa’x3 -J- 1 o a?xl -f- 5**x -f - «5.

Si l’on veut en déduire la cinquième puissance du binôme 2^3 — 3 y, on fera x=2 y3, x— — h y ; et l’on trouvera que cette puissance est

32 y‘5 — 24oiy,3-f- yzoy" — io8oj<9-j-8iOi)'7 — 243y®.

Si T^,. désigne le (n -f- 1 yimr terme du développement de

(*+*)"% c’ést-à-dire le terme qui en a n avant lui, on aura

Tb+, est le terme général du développement de (x-f-*)™, parce qu’il détermine les termes de ce développement, à partir du 2', en donnant successivement à nies valeurs 1 ,2,3,4>5,etc.

La mlim‘ puissance de x- f- <* , contient m -f- I termes; le dernier terme est*m. En elTet, lorsqu’on suppose n^m dans l’expression (5) de T^„ on trouve • .

rr... -m(m~0(W~2)-2Xl ^ iX2X3X...X(m-i)™

Ce terme est le derùierdu développement de

(x-j-ot)1"} car en assignant à n des valeurs entières plus grandes

que Tri, un des facteurs du numérateur de T„+, .se réduit à

zéro.

28. Chaque terme peut se déduire du précèdent ; car lorsqu’on change n en ra-f-i, la relation (5) devient

et la comparaison des formules (5) , (6) , conduit à cette règle générale : Pour déduire un terme quelconque du précèdent, multipliez le coefficient numérique du terme précédent par l’exposant de x dans ce terme, diminuez l’exposant de x d’une unité, augmentez celui de a. d’une unité, et divisez par l’ exposant de et ainsi augmenté d’une unité ; le résultat sera le terme demandé • Tous les termes du développement de (x + *)m peuvent ainsi se déduire du premier terme xm.

On trouve de cette manière que dans le développement de le 1" terme étant x5, les termes suivanssont

5x fa'»* 3 . ioX3xV

5 x*<z, — — ouioxV,

ou 1 oxV

I0X2X'«* e , 5xix°ct5 . s 5 .

OU Sx»*, r OU I XX ou

Le terme 1 Xx°«5est le dernier;car d’après la loi énoncée, le terme suivant contiendrait en facteur l’exposant zéro de x.

Le développement de(x-f-*)5, ainsi formé, estdonç

x*+5x4ct-4-»ox3«s + i ox1»1 4- 5x«d 4- »b .

On peut remarquer que les coefliciens numériques des termes également distans du premier terme et du dernier sont égaux.

129. En général: Dans le développement ch (x4-«)", les coefficiens des termes également distans du premier terme et du dernier sont égaux.

1" Démonstration. Le développement de (x+ »)m est de la forme

( 0- . .x" 4- Actxm,4-B«’xm-,‘ 4- ... 4- BV"-*x‘ 4-A'«”“’x4- *m ,