CHAPITRE IV. a

les coefficiens A,B,...,B',A', sont des fonctions de m, indépendantes de x et de •.

La miime puissance de x « devant rester la même quand on

change à la fois a: en « et «en X, si l’on fait ce changement dans (1) , le résultat ,

«" + Ax*m-‘ -f BxV*1-,4- . . . -f- B'x"-,V+ A'xm-*« 4- xm,

devra être, composé des mêmes termes que le polynôme (1). De sorte que les coefficiens des mêmes puissances de x seront égaux dans ces denx polynômes. On a donc A=A' , B= B', etc. Ce qui démontre la propriété énoncée.

a* D£mokstration. Le développement de (x-f-a)"' contenant m -f-i termes, le terme qui en a n après lui est précédé de m — n termes. Or, dans ce développement, le terme qui en a n avant lui, est delà forme “.(page 238), et bn exprime le nombre

des produits n à n de m lettres. Pour en déduire le terme qui en a «après lui, c’est-à-dire m — n avant lui, il suffit de changer n en m — n dans i>„anxm-“; ce terme est donc bm nam~nxm ,. et son coefficient bm„ exprime le nombre des produitsm — n à m—n de m lettres. Or, en divisant successivement le produit de m lettres par chacun des bn produits n à n, les b„ quotiens sont les produits des m lettres prises m — nam — n; le nombre bm n des produits m — n a m — n, de m lettres est donc égal au nombre bn des produits n à n de ces m lettres. Les coefficiens bm-* > bn , des termes également distans des extrêmes sont donc égaux.

3e DiMONSTBATioN. T)ans le développement de le

coefficient du terme qui en a n avant lui est

Pour en déduire le coefficient du terme qui en a n après lui , c’est-à-dire m — n avant lui , il suffit de cbangerVt en m — n , et par suite m — n en «j ce qui donne

m~n 1.2. 3... (m — ni — i)(m — n)'

a46 ALGÈBRE.

Si l’on réduit ces deux fractions au même dénominateur, en ayant soin d’écrire les facteurs des dénominateurs de bn et bm^m dans u ft ordre inverse, afin que les facteurs des nouveaux numérateurs diminuent successivement d’une unité, on trouvera que ces numérateurs sont

m{m — i )(m — a). . .(m — n + a)(m — n+i)x (771 — ») (m — n — i)...3.a.r, m(m — i)(m — a). . . (n-M) x (n+i) x nx(n — i) 3.a.i,

et ils sont égaux , car ils expriment tous deux le produit des m nombres entiers consécutifs. i ,2,3 ,...., m. Ce qui démontre la propriété énoncée. ' . ’ .

i 3o. La somme de tous les coefficiens contenus dans le développement de (x -f- «)“ , est égale à 2ra ; caf d’après la propriété dun® 129, le développement de (x + «)m pouvant se mettre sous la forme

si l’on fait x = 1 , et = 1 , on trouve que

771 (/Tl l)

Par exemple, la somme des coefficiens contenus dans le déeloppement de (x + af est

1 + 5 + 1 o + 1 o + 5 + 1 , ou 32 , ou 25.

1 3 1 . Pour obtenir le développement de (x — a)"1, il suffit de changer + a en — « , dans la valeur de (x + «)m ; les puissances paires de m restent positives, les puissances impaires de a deviennent négatives , et l’on trouve

(x— /n**"-'-) 1 : — a’x”— »+ etc.

Selon que l’exposant m est un nombre pair ou impair, le dernier terme est +<t“ ou — am.

i*r Exemple. Soit77i-==4- On trouve

(x — »)* = x4 — 4«x! + 6*’xa — 4*3x + it4.