CHAPITRE IV

J IV. Extraction des racines des quantités littérales.

136. Ù extraction dç la racine nitm‘ d’un monomc et, n’offre aucune difficulté; car en désignant parc le coefficient numérique et par J' la partie littérale , on a

ni» fi n

tt—ci, ^ ci'— y/c x i/«h

On Tient de donner le moyen d’extraire la racine nUnt du nombre c,et l’on a vu (n° 1 12) comment on trouve la racine n*'"1* du monome $.

En voici des exemples ,

V/a6ai44 'a',b',c* =■ 1 J4 X \fâ' sb,,c> =6 ^a,b*jc,

137. La composition du développement de ( p -f- </)" fournit le moyen de revenir cf une puissance quelconque d’un polynôme à sa racine.

Nous supposerons que tous les polynomés sont ordonnés suivant les puissances décroissantes d’une même lettre ; dé sorte que par premier terme d’un polynôme, il faudra toujours entendre le terme de ce polynôme qui renfèrme la plus forte puissance de cette lettre.

On serait conduit à des raisonnemens et à des calculs analogues, en ordonnant par rapport aux puissances croissantes

d’une même lettre.

Exemple. Soit proposé d’extraire la racine cubique de

33 a“ -f- tia6 — 36a5 — 9a -f- 66a4 — 63a3 -j-, 1 .

On ordonne ce polynôme par rapport aux puissances décroissantes de a , on dispose le calcul de la manière suivante :

ALGEBRE.

P=z8o® — 36a5-(-66a< — 63o5-+-33a» — 90+1 R —P — (aa*)s= — SCo’+tîSo* — 63o*H-33a» — go-t-i R'=P — (aa’ — 3a)> =>2fl< — 36a*-f-33n’— 90+1 R'— P — (a o» — 3a-t-i)3=o.

et on dit : le cube d’un polynôme étant le produit de trois facteurs égaux à ce polynôme, le i,r terme 8a6 du cube, est le cube du itr terme p de la racine demandée (n° 19) ; le Ier terme

de cette racine est donc 8a6 ou 2a‘ > nommant r la somme des autres termes de la racine , le plus fort exposant de a dans r est moindre que 2 , et en désignant par P le polynôme proposé, on a P = (2 a4 + r)3. Or ,

(p + r)3=p3 4- 3/>V+ 3pr4 + r3=p34-(3p4-j- 3 pr + r’) X r.

Remplaçant p par 2a4, on -voit que

Retranchant 8a6 de P , le reste est

R = { 3 (2a4)4 4- 3 (2a4) r-f-r1} Xr= — 36a54-66a4 — etc.

Les exposans de a dans r étant moindres que 2, le terme affecté du plus fort exposant de a dans le facteur

3 (2a4)4 4- 3 (2a4) r 4- r4, est 3 (2a4)4 ou 12a*.

Le Ier terme — 36a5 de R est donc le produit de 12a* par le i*r terme de r; divisant donc — 36as par 12a4, le quotient — 3a exprime le i" terme de r, e’est-à-dirK le 2* terme de la racine demandée. • ,

Pour trouver les autres termes, on retranche de P le cube de 2a4 — 3a; ce qui donne le 2* reste

Or, en regardant 2a4 — 3a comme la ire partie de la racine cherchée , et r1 comme la 2e partie , on a

ao’ — 3a+ l = ÿp

V/8 a6 = 20’, i« terme de \/P 3(20»)’ =ua<

3Ga» , , 3/b

= — 3o , 2' terme de 1/ P

+ î^j=4-l, 3* terme de l/P.