CHAPITRE IV

Ps=(Va% — = — 3/i)5 -$-3'aa* —3 a;*/-f* 3(3«,^3/i}r/*-f-r'5i

donc R'={3(aa* — 3a),-f-3(aa*1 — 3/7)/ -+-/*} x/ = iaa< — 36a3 4* etc.

Le plus fort exposant de a dans r' étant moindre que i , le i*r terme »2a+ de R' exprime le produit de 3 (2aa)a parle i,r terme de r'; divisant donc 1212* par 3 (2a2)2, le quotient + 1 est le 1" terme de /, c’est-à-dire le 3e terme de la racine cherchée. Retranchant de P le cube de 2a2 — 3a + 1 , le reste zéro indique que la racine demandée est 2a2 — 3a + ».

»38. Des raUonnemens analogies aux précédens fourniront le moyen A' extraire la racine mUm’ d’un polynôme quelconque P.

En effet, soit a -f- 6-f-c-(- d -f- etc., le polynôme P ordonné suivant les puissances décroissantes d’une lettre x , et désignons par *-f-£-f-y -+- T1-}- etc., sa racine mUm'‘ ordonnée par rapport à la même lettre ; on aura

(et C -J— y — j- & -j- etc.)"1 a — b -1- c d -f- etc.

Quand la m,,mt puissance de a -j-C-j- y -f- tf-J- etc., sera .développée et ordonnée suivant les puissances décroissantes de x, le premier terme de ce développement devra être identiquement égal à a; le 2* terme sera égal à b j et ainsi de suite.

Pour trouver les termes *, C , y, etc., de la racine, on dispose le calcul de la manière suivante :

P =a + 6+c + d + etc.

i«rre*ttK.= i-+-c+rf-t-Me. x-C+ctc.

a* resle R^P-^a+CJe^p-f-etc—ma'-'y+ctc.

y/a-h — — *4- etc. *

m \/ am—'

m \ / am~'

La m,imt puissance d’un polynôme étant le produit de m facteurs égaux à ce polynôme , il résulte du principe du n° 19, que le terme de cette puissance qui contient le plu* fort exposant de la lettre, par rapport à laquelle on a ordonné, est la mum, puissance du i*r terme de la racine.

Digitizad by GoogI

D'après celte propriété, le premier ternie a du polynôme P exprimant la mihnt puissance du premier terme a île la racine chercliée , on a

a = a", d’où

On obtiendra donc le premier terme « de la racine demandée, en prenant la racine mtJmr du premier terme1 a du polynôme proposé.

Pour trouver le a' terme C de la racine , on développe la mu»‘ puissance de a-J-C-J-y-H'-f- etc , en regardant C+y+ etc. comme un seul terme; ce qui donne

<tm+mua-’ (C+r+ etc.) 41 1 ^ am-' (C+y + etc.)*+ etc.

Ce polynôme devant être identiquement égal à û + è + c + + etc. ,

si l’on retranche de part et d’autre de ces deux polynômes les quantités égales «•“, a , les restes

(l). • • mxm~' (C+y-t- etc.) ■+■ — (C + y -f- etc.,.

b + e ■+■ d ■+■ etc.

seront égaux. Le terme du polynôme (i) qui contiendra la plus forte puissance de x, sera donc égal au i,r terme b du reste ô + c -f- ûÊ -f* etCi

Or, il est facile de voir que ce terme est nutm~'C. En effet, d’après ce qui a été démontré précédemment, les termes affectés des plus forts exposans de x dans #•

(£ + r4etc.), (G + y 4 etc.)*. . . , (64y4etc.)*, sont respectivement

les termes qui renferment les plus forts exposans de x dans les produits

“m-,(^4y4etc0> a’n aC^4v4etc.)!“) . . . , am-',(C-j-y4etc.)’',

sont donc