CHAPITRE IV

*“-'XC, «"“‘xf1, , «m— Xf*.

Tout se réduit donc à démontrer que l’exposant de x dans «tm— '£ est plus fort que dans a.m~nCn. Cela deviendra évident si l’on observe que

am~‘S = X a"-1,

— am~ttC x ;

car l’exposant de A dans « étant plus fort que dans C , l’exposant de x dans a.n~i est plus grand que dans Cn~\

Le terme du polynôme (i) qui renferme la plus forte puissance de x est donG m»m~' £. Ce terme devant être égal au Ier terme b du i*r reste b + c + etc., on obtiendra le 2* terme C de la racine demandée, en divisant b par

Ainsi, pour obtenir le a” terme de la racine miime du polynôme a -J- b -j- c -f- etc., il suffit de retrancher de ce poly-

nome la mi"nt puissance a du 1er terme \/a de cette racine, et de diviser le i'r terme b du reste R, = b -f- c -f- etc., par

m fois la (m — i )Um' puissance du i*r terme [/a de la racine;

le quotient — exprime le 2e terme C de la racine. De

m y/ am~ 1 . ,

sorte que

m y/ am~ 1

Connaissant les deux premiers termes et, C de la racine, pour trouver le 3e terme y, on commencera par retrancher du polynôme donné a -f- b -f- c -f- etc. , la mllm‘ puissance de (« + £); cela donnera un 2* reste R„. Soit p le i,r terme de ce reste , c’est - à - dire le terme affecté de la plus forte puissance de .t. Le reste R» sera égal à

(ï). . . m(*+ C)m~‘(y+ f-betc.) •+■ (y-*-/-Mtc.)*4-elc.,

a 58 ALGÈBRE.

car en regardant a -f- 6 comme le i" terme d’un binôme, et >- -4~ “H «te. comme le 2* terme de ce binôme , la mUm‘ puissance de (a -J- G) + (y + ^ -f- etc.) devient

(<* + C)M + m (« + C)m~' {y + S' + etc.) + etc. ,

et cette puissance est égale au polynôme donné c-f-^+c+etc.

On prouvera, comme on l’a fait pour le polynôme (i), que le terme affecté de la plus forte puissance de x dans la valeur (2) du 2* reste Ra , est X y- Ce terme devant être égal

au Ier terme p du 2e reste, On obtiendra le 3* tefrae y de la racine demandée, en divisant le itr terme p du 2* reste, par rn fois la (m — puissance du i,r terme a de la racine.

Connaissant les trois premiers termes ee-f-C-f- y de la ra rcine a-l-C-f-y-f- é' -f- etc., on trouvera le 4* terme i', en retranchant d’abord du polynôme donné u + ^ + c + etc. , la miim‘ puissance de t -f- G -f- y, et en divisant le 1" terme du reste par mat’0-1; et ainsi de suite.

On peut démontrer directement que lorsqu’on a trouvé plusieurs termes de la racine j le premier des termes suivons s’obtient en retranchant du polynôme proposé la rniim‘ puissance de la somme des termes déjà obtenus j et en divisant ensuite le ïet terme du reste parm j'ois la{m — i)1*"' puissance du 1*' terme de la Racine.

En effet; soit A la somme, des termes qu’on a déjà obtenus à la racine, et B la somme des termes qui restent à trouver ; le polynôme donné a -f- b -j- c -f- etc. , sera égal à la m llm‘ puissance de A -j- B, qui est

Am -f mA"-1 B + ™Sm~ À”-* B» 4. etc.

Retranchant A™ du polynôme proposé P, on obtiendra un reste; le terme T de ce reste qui contiendra la plus forte puissance de x, sera nécessairement égal au terme du reste

mA—B+ — ~~l} A"-B*+etc., qui renferme ia plus forte puissance de x; et il est facile de