CHAPITRE IV

voir que ce terme est le produit de mam~ 1 par le l,r terme de R. En effet; le i*r terme de A étant a, si l’on désigne par c le Ier terme de B, il résulte du principe du n° 19, que les termes affectés des plus forts exposans de x dans les produits

Am— 1 X B, A’-’XB1,..., Am" x B”, . . . sont respectivement

a.m~' X 1 , «"•*' X «* , s""* Xi",

Tout se réduit donc à faire voir que le plus fort exposant de x dans «m l X « est plus grand que dans «ln— " X '*• Cela deviendra évident, si l’on observe que

car l’exposant de x dans • étant plus grand que dans 1, l’exposant de x dans a’1-1 est plus grand que dans s"-1. Ce qui démontre le principe énoncé.

i3g. On en déduit cette règle générale : Pour extraire la racine miim‘ d’un polynôme P, ordonnez-le suivant les puissances décroissantes d’une lettre x. Concevez la racine ordonnée de la même manière, et disposez les calculs comme il a été indiqué (page 255). La racine miimt du Ier terme de Pj sera le Ier terme a de la racine demandée. Retranchez mm de P; le i*r terme du reste, divisé par man~', donnera le 2* terme S de la racine cherchée. Retranchez (* de P ; le r,r terme du

reste que vous obtiendrez , divisé par muF~' , fournira le 3* terme y de la racine. Et ainsi de suite.

Dans tout le cours de ces opérations , s’il n’y a pas de faute de calcul , la puissance de la partie de là racine déjà obtenue, ajoutée au reste correspondant, fournira une somme égale au polynôme P; car chaque reste est égal au poljmome proposé, diminué de la miim‘ puissance de la somme des termes qu’on a obtenus à la racine.

Exbhple. Trouver la racine cinquième de

81 ox7 -f- 32x’s — a/Jox'3 — 243x5-f- 720X” — 1080 x».

On ordonne suivant les puissances décroissantes de x, et on effectue le calcul de la manière suivante:

P = 3lX's — 2/fOX' 3 -j’iox' ■ — 1 0802-9 -f- 8lOX? — ifix* — 32*'s

i«r reste B , = — a^ox'3 ■+■ 720X'1 — io8ox9 •+■ 8iox7 — 243x* 2e reste R, = P — (2X3 — 3x)5 = o.

ax’— 3x

La racine cinquième du Ier terme 32x'5 du polynôme P, donne le 1er terme 2x3 de la racine cherchée. Retranchant (2X3)5 ou 32x‘5 du polynôme proposé P, on obtient le Ier reste R, == — 24ox,3'-f- etc.; la division du ier terme — a/jox'3 de ce reste, par 5(2.r)< ou par 8ox4, fournit le 2' terme — 3x de la racine cherchée. On retranche de P la cinquième puissance de 2x3 — 3x; le reste R» étant zéro, on voit que 2X3— 3x exprime la racine cinquième du polynôme proposé.

On trouvera de même que la racine quatrième de

a * est a1 —

et que la racine sixième de

xla-j- 6x“ + 2ix'° -|- 5ox9 -f- gox8 + 126X7 -f- i4ix6+ 126X5 + gox* + ôox3 -f- 2ixa + 6x + 1 , est xa -f- x -J- 1.

J 4o. Lorsqu’on parvient à un terme a> de la racine, tel que l’exposant de x dans um est moindre que dans le dernier terme du polynôme donné P dont on cherche la racine m““', on est certain que la racine cherchée est irrationnelle , c’est-à-dire qu’elle ne peut être exprimée exactement par un nombre fini de termes ; car d’après le principe du n° ig, la milme puissance du dernier terme de la racine devant être égale au dernier terme du polynôme donné P, il en résulte qu’ zf/i polynôme P et sa racine m,/m‘ étant ordonnés suivant les puissances décroissantes d’une lettre x, cette racine j lorsqu’elle est exacte ne peut renfermer aucun exposant de x moindre que la m,im‘ partie de l’exposant de x dans le dernier terme du polynôme préposé.