CHAPITRE I

On voit que la méthode que nous venons de suivre pour résoudre le problème proposé, se compose de deuxpartiesdistinctesî

Dans la première partie j on a écrit d’une manière abrégée le9 conditions du problème, à l’aide des signes algébriques ; ce qui a fourni une équation entre les nombres connus et inconnus. C’est ce qu’on appelle mettre le problème en équation.

Dans la seconde partie , on est parvenu à la valeur de l’inconnue en soumettant l’équation primitive du problème à des transformations très simples. C’est ce qu’on nomme résoudre f équation.

Enfin, on a fait la preuve en s’assurant que les valeurs obtenues pour les inconnues satisfont à toutes les conditions du problème.

On aperçoit aisément que ces moyens de simplification , sont applicables à tous les problèmes.

Si l’on prenait dans la question proposée d’autres nombres pour la somme et la différence , les valeurs des deux nombres inconnus changeraient, mais les raisonnemens et les calculs à faire pour déduire ces nombres inconnus de la somme et de la différence j resteraient les mêmes. Par conséquent, pour parvenir à une expression générale de l’inconnue x qui conserve la trace des opérations arithmétiques qu’il faut exécuter sur les nombres donnés 18 et 4, pour obtenir 'là valeur de cette inconnue, il suffit, dans les diverses transformations précédentes de l’équation primitive, de se borner 'i Indiquer les opérations arithmétiques, au lieu de les effectuer.

En opérant de cette manière, l’équation primitive

conduits x Xi = >8 — 4» x = — -.

Ce dernier résultat jouit de la propriété demandée j car il nous apprend que le plus petit nombre x peut toujours se déduire directement de la somme et de la différence données j en retranchant la différence de la somme , et en divisant le reste par 2.

D’après cette règle , lorsque la somme de deux nombres étant 20, leur différence est 4 > on obtient directement le plus petit de ces nombres en divisant 20 — 4 ou *6 par 2; ce qui donne 8. Le plus grand nombre est donc 8 -|- 4 ou 12.

Si, la somme des deux nombres inconnus étant 18, leur différence était 2 , en désignant toujours par x le plus petit de ces nombres, on serait conduit aux équations

et cette valeur de x aurait l’inconvénient de ne plus faire connaître comment l’inconnue se déduit des données 18 et 2; car on pourrait croire qu’il faut retrancher lu différence donnée 2 de la somme 18, et diviser le reste par la différence donnée 2. Ce qui n’est pas généralement vrai , puisque le dénominateur 2 de la valeur de x , résultant de ce qu’on a remplacé dans l’équation primitive, x -f- x par x X 2, ce dénominateur sera toujours 2 , quelles que soient la somme et la différence données , tandis que dans le numérateur 18 — 2,1e même nombre 2 exprime la différence donnée qui peut changer.

Pour éviter que la réduction des termes qui renferment l’inconnue , ne puisse induire en erreur , en introduisant des nombres qui se confondent avec les données particulières de la question proposée , et afin que l’expression de l’inconnue conserve la trace des calculs arithmétiques à faire sur les données pour en déduire directement cette valeur de l’inconnue, sans être obligé de passer par toutes les transformations de l’équation primitive, on a représenté les quantités données par des caractères généraux qui sont ordinairement les premières lettres de l’alphabet.

Ainsi , dans le problème précédent , on désigne par a la somme des deux nombres inconnus et par b leur différence ; le plus petit de ces nombres étant x , le plus grand sera .r 4- è , et leur somme devant être égale a a, on aura

x-f-x-f -b = a, ou xX 2 -\-b = a, ou ar + b = a {*}.

(*) Pour indiquer le produit île x par a on écrit ix.