CHAPITRE I

La somme îles quantités 2 x , b, étant a , on obtiendra %x en ôtant b de a; de sorte que

Le plus petit nombre x est donc égal à la moitié de a — b,

ou a .

On obtiendra donc le plus petit nombre en retranchant de la somme a des nombres cherchés , la différence donnée b, et en divisant le reste par 2.

On peut aussi déduire directement le plus grand nombre, de la somme et de la différence données ; car l’expression générale

du plus petit des nombres cherchés étant a -, il suffit de lui

ajouter la différence donnée b pour obtenir le plus grand nombre. Lejilus grand nombre a donc pour expression générale,

ou

Or , a — b -j- ib se réduit à a + b ; car ôter une fois b de a, pour ajouter ensuite 2 fois b au résultat a — b, revient à ajouter une fois b à a.

Le plus grand nombre étant exprimé par — — — x on voit que

pour le déterminer j il suffit (Rajouter la différence des nombres cherchés à leur somme et de diviser le résultat par 2.

Si l’on veut parvenir directement à cette expression générale du plus grand des deux nombres cherchés, on désignera ce nombre par x , le plus petit nombre sera x — b , et la somme de ces deux nombres devant être a , on aura

x -f- x — bz=a, ou 2 je — b — a.

Pour résoudre cette équation , on ajoute b aux deux quantités égales %x — b et a; les sommes 2a: — b b eX a b étant égales , on a

2r — b + b = a~\-b\ ce qui se réduit à 2 x= a b ,

car, lorsque après avoir ôté b de ax, on ajoute b au résultat 2X — b, ces deux opérations se détruisent nécessairement et donnent 2 «.

Enfin , pour résoudre l’équation 2X = a + b , on divise par 2 les quantités égales 2x et a + b ; les quotiens x et

— - — étant égaux , on a x = ,

ce qui détermine le plus grand des deux nombres cherchés. Pour en déduire le plus petit, on ôte la différence b , du plus

grand nombre l’expression générale du plus petit

nombre est donc

■ — , ou ,

ou

car il est évident qu’ajouter une fois b b a pour ôter ensifite 2 fois b du résultat, revient à ôter une fois b de a.

On peut donner une autre forme aux expressions ° ^ >

° , car d’après ce qui a été démontré dans l’Arithmétique ,

Par conséquent ,

et

le plus petit nombre = ^ ^ ,

le plus grand nombre = ^ -4- ' •

a. Ces résultats sont des formules qui nous apprennent que, connaissant la somme et la différence de deux nombres , le plus petit est égal à la demi-somme moins la demi-différence j et le plus grand est égal à la demi-tomme plus la demi-différence.