CHAPITRE Y

Proportions , Progressions , Fractions continues et Logarithmes.

§ I*r. Des Proportions géométriques.

i4i. La théorie des proportions ayant été traitée complètement en Arithmétique , nous nous bornerons à faire voir combien l’emploi de l’Algèbre simplifie les démonstrations qui y sont relatives.

i°. Dans toute proportion j le produit des extrêmes est égal au produit des moyens ; car la proportion

c d exprime que

et en chassant les dénominateurs, cette égalité donne a X d — b X c.

2°. Quand le produit de deux nombres est égal au produit de deux autres nombres , ces quatre nombres forment une proportion dans laquelle les deux facteurs d’un des produits sont les extrêmes, et les deux autres facteurs sont les moyens ; car l’égalité aXd = iXc donne

Y = d’où a : b :: c î d.

3°. Le quatrième terme (Lune proportion est égal au produit des moyens divisé par le premier terme ; et chaque moyen s’obtient en divisant le produit des extrêmes par Vautre moyen car la proportion

a b c d exprime que

a6a ALGÈBRE,

et cette équation donne

4°. La moyenne géométrique entre deux nombres est égale à la racine quarrie du produit de ces deux nombres ; car en désignant par x la moyenne géométrique entre aeti,ona

a\x\\ x\b\ d’où ^ ^ , x1 = aè , x=l/ai.

5°. Il résulte de (20) qu’on peut faire subir à une proportion toutes les transformations qui n’altèrent pas l’égalité entre le produit t les extrêmes et celui des moyens.

Ainsi , l’égalité e X d = b X c ,

fournit les huit proportions,

a'.bv.c'.d, a : c :: b : d, d’.by.c’.a, dlcV.bla , b'.a'.'.d'.c, b'.dy.a’.c , c'.d'.'.a'.b, c a y. d : b ,

Les quatre premières proportions démontrent que si quatre nombres sont en proportion , ils le seront encore lorsqu’on transposera les moyens ou les extrêmes.

Les quatre autres proportions font voir qu 'une proportion n’est pas troublée , quand on met les extrêmes à la place des moyens j et les moyens à la place des extrêmes.

La proportion a'.b’.'.c’. d donnant

on voit que dans toute proportion, le rapport du l'r conséquent au a* conséquent, est égal au rapport du Ier antécédent au 2° antécédent.

6°. On peut multiplier un extrême et un moyen par un même nombre , sans que la proportion cesse d’exister ; car la propor-

tion a'.b Wc'.d , revient à - = d’où

a cm a b bm

b dm ’ c d. dm ’