CHAPITRE V. a

et ces dernière» égalités conduisent aux proportions a: b :: cm: dm, a: c y. bm : dm.

Quand deux proportions ont un rapport commun , les deux autres rapports forment une proportion ; car les proportions a l b :: c . d, a • b . « c • d! ,

expriment que

^ = ce qui donne c î d ” c' \ d! .

8°. Lorsque deux proportions ont les mêmes antécédent ou les memes conséquent , les quatre autres termes forment une proportion ; car les proportions

a : b :: c : df a: b' :: c : <£ ,

CL C Ct C jj «

donnent £ = j, ÿ = J'> doù

c d d et les proportions

a \ b y. c : d , a" : b :: ô : d, donnent

— — -r — -j) d ou ~j • — — — ■ “7 1 a . c .. a .c.

g°. Le i" antécédent plus ou moins un certain nombre de fois

son conséquent j est à ce conséquent, comme le 2* antécédent

plus ou moins le même nombre défais son conséquent , est à ce

conséquent ; car la proportion

a: b :: c :d exprime que ^

et cette équation donne successivement

: nb

\nd

a dt nb î b I ; c ± nd : d.

io°. Le Ier antécédent plus ou moins un certain nombre de fois son conséquent j est au 2* antécédent plus ou moins le même nombre de fois son conséquent j comme le Ier conséquent est au 2' conséquent j et comme le i" antécédent est au 2' antécédent. En effet ; la proportion a’, b y. c d,

donne

a c ... b a a ou

bd de

On a vu (90) que

a ±.nb

'.±nb c rt nd

Donc

— , = et par suite

nd de

a ± nb c nd y. a’ c.

àdznb cdznd y. b d,

il®. Le i" antécédent plus un certain nombre de fois son conséquent , est au 2' antécédent plus le même nombre de fois son conséquent , comme le i" antécédent moins un nombre quelconque de fois son conséquent t est au 2' antécédent moins le même nombre de fois son conséquent ; car la proportion

c\d donne 7 = 3; d’où 0 a

a , c , a-\-nb b + n=d + n’ —b~'

c -\-nd a -f- nb

— — /zi = — m

• mb

d ’ c - f- nd c — md a — mb b d ’ c — md d'

Donc

• nb.

t — mb

— ; — j — ,, a-\-nb '.c-\-nd y. a — mb'.c — md.

c -f- nd c — md

12°. Le Ièr antécédent plus ou moins un certain nombre de fois le 2e antécédent j est au 1" conséquent plus ou moins le même nombre de fois le -2e conséquent j comme chaque antécédent est à son conséquent ; car d’après (5°) , la proportion

a', by. c'. d donne a c y. b', d, et il résulte de ( io°) que cette dernière proportion conduit à a ±. ne : b rt nd “ c : d a : b.