CHAPITRE V

on voit que les inconnues x , y,z, dépendent des équations

yxix X-\-y + z—a, y=Y’ Z== C'

Pour déterminer x, y et z, on substitue les valeurs

-g-, de y et z , dans la iTt équation ; ce qui donne

yx ix

Chassant le dénominateur G. il vient

Gx ■+• yx + Jx = *G , ou (C -f- y-f*/) x = «C.

. aG

On en déduit x = y. — ; ..

fe + y •+ ï

Substituant cette valeur de x dans celles dey et z , on trouve

tfy ttS'

Ces valeurs de x, y, z, sont les mêmes que celles qu’on a obtenues (page 76); et en effet, pour trouver les gains x,y, z correspondans aux mises G, y, i', il suffit de partager le gain total » en parties proportionnelles aux mises G, y ,

2' Solution. Les trois parties demandées devant être proportionnelles aux nombres G, y, t~ , si la ire est représentée par Gx, la 2" sera yx, la 3e sera <ÎX; et la somme de ces trois parties devant être a , on aura

Gx + yX-{-fxz=z *\ d’où X = y

Multipliant successivement cette valeur de x par G, par y et

par i', les produits exprimeront les parties demandées.

$ H- Des Progressions.

i46. Nous avons fait connaître en Arithmétique, les propriétés des progressions qui sont nécessaires pour établir la théorie des logarithmes. Mai» , l’emploi de l’Algèbre devenant indis-

pensable , lorsqu’on veut résoudre les différens problèmes relatîfc aux progressions, nous allons maintenant compléter cette théorie.

Des Progressions arithmétiques ou par différence.

l47- progression arithmétique est formée d’une suite de termes telsj qu’en retranchant de chaque terme celui qui le précède j on obtient une différence constante. Cetle différence est la raison de la progression.

Désignant donc par a le 1" terme et par d la raison , le 2* terme sera a -f- d , le 3' sera a -j- 2 d, . . . , et le nitm‘ sera a + (n — i) d. L’ensemble de ces termes s’écrit ainsi

f a.(a-\- d) .(a-\-ad) .(a -|- 3d).etc.

Suivant que la valeur de la raison, d, est positive ou négative, la progression est croissante ou décroissante.

Si l’on représente le nombre des termes par n, leur somme par s et le dernier terme par «, on aura

(i) ... »=Jû + (ra — \)dy

s = a ( cl -f* d ) -f- (a -j- 2C?) . • • -f- £ a. -f- [n — i ) d J*

La formule (i) fait voir qu’un terme d’un rang quelconque est égal au premier terme augmenté d’ autant de fois la raison qu’il y a de termes avant lui.

Il est facile d’obtenir une expression plus simple de s. En effet, la valeur de s peut se mettre sous les deux formes

s— a -f- (» — d) -f- (ai — 2(1) d" - • • ~t~(a“t”2d) -f- (a -J-d) -f- a.

Ajoutant ces équations membre à membre, et observant que la somme de deux termes du même rang se réduit à a-f-», on voit que 2 s est égal à n fois (a -f- <*). De sorte que

(i). , .« = a -f- (« — i)d et (2). . .s--n(a-t-ai).

148. Les équations (1), (2), donnent le moyen de résoudre ce problème général : Connaissant trois des cinq quantités at

Adgèbrr, page 269.

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