CHAPITRÉ V.. V

dj n, a, s, qui entrent dans un * progression arithmétique , déterminer les êtnx autreq^ '■,< « . C

Celte question fournit dix problèmes ^fcrticuliers dont les solutions n’offrent aucune difticulté ; car on a toujours deux équations pour déterminer les deux parties inconnues , et les équations à résoudre sont du premier ou du second degré. On ne peut admettre que les râleurs entières positives du nombre n des termes. Les formules relatives à ces problème* sont réunies dans le tableau ci-joint.

i*r Problème. Insérer m moyens arithmétiques entre deux nombres donnés, a ,a\ c’est-à-dire , placer m termes entre a et », de manière que les' m -f- 2 termes qui en résulteront forment une progression arithmétique.

Pour être en état de calculer ces moyens arithmétiques, il suffit de déterminer la raison d de la progression cherchée. Or, on connaît le i'r terme a, le dernier terme a , et le nombre n des termes qui est égal à m + 2 ; la relation » = ti-f~(n — 1) d devient donc

« = d’où d = — -j — | .

Cette formule démontre que pour obtenir la raison de la progression demandée, il suffit de prendre la différence entre ■ les deux nombres donnés, et de. diviser cette différence par le nombre des moyens arithmétiques augmenté de 1. (Arith. , page 208.)

Il en résulte que si l’on insère successivement un même nombre de moyens arithmétiques entre le Ier et le 2e terme d’une progression arithmétique, entre le 2* terme et 3e, etc., l’ensemble de tous ces termes formera une nouvelle progression arithmétique ; car en représentant par d la raison de la progression donnée et par mie nombre des moyens arithmétiques que l’on insère entre deux ternies consécutifs quelconques de cette progression , la raison qui régnera entre les moyens arithmétiques que l’on insère sera constante et égale à — i — . De sorte

que l’ensemble de tous les termes ainsi formés déterminera une nouvelle progression arithmétique.

2* Problème. Connaissant , a, s et dj trouver n et m. On élimine « entre les équations

(!)...• = a-f (n— i)dt (2)...s = ^(a-f «),

ce qui conduit à l’équation du second degré

dnü -f- (2 a — d) n =3 2s. On en tire • oa ± V (d — 2a y + Sds

La formule (3) fournit deux râleurs de n;.et la substitution de ces valeurs dans l’équation (1) donne les valeurs correspondantes de «.Pour que le problème soit possible, il suffit et il faut que n soit un nombre entier positif.

Ier Exemple. Soient a — +9, d— — 2, 8= 2t.

La formule (3) donne n = -f- 3 , n = -f- 7 ; les valeurs correspondantes de », déduites de l’équation (1), sont-f- 5 et — 3; ce qui détermine deux progressions.

Les termes de la première sont +9, +7, +5; ceux de la seconde sont -f-9, +7, -f-5,+3, +1, — 1, — 3.

2' Exemple. Soient a — 3, d= 2, «=24.

On trouvera "=4> 11 = — 6.

La seule progression qui satisfasse à la question est donc

3* Problème. Connaissant », Sj d, trouver n et a.

L’équation (1) donne a=»— {n— i)d.

La substitution de cette valeur de a dans (2) conduit à dri * — (d-f- 2») n -f-2s = oj d’où

. d+2*± \/(d-\~ 2 «)“ — 8ds

Cetto formule déterminera les valeurs de n, et ensuite la subs-