CHAPITRE V

titution de ces valeurs de n dans la relation a =* — (n — i)d, fera connaître les valeurs correspondantes de a.

Exemple. Soient d= 2 , s— 21.

On trouve n = 3 , n = 7.

Les valeurs correspondantes de a sont + 5 et — 3.

Cela fournit deux progressions arithmétiques qui satisfont à la question.

Les termes de la première sont -f- 5 , — 7 , — H 9; ceux de la seconde sont — 3, — x , — x , ‘—I— 3 , — f- 5 , -f- ^

Des Progressions géométriques ou par quotient.

1 49. La progression géométrique ou par quotient est formée d’une suite de termes tels, qu’en divisant chaque terme par celui qui le précède, le quotient reste constant ; ce quotient est la raison de la progression.

Désignant donc par a le i*r terme et par q la raison, le 2* terme sera aq , le 3* sera aq *, et le n,i‘n‘ sera aqn~'. L’ensemble de ces termes s’écrit ainsi

— a \ aq’. aq * : aq3 etc.

Suivant que la raison q est plus grande ou plus petite que l’unité, la progression est croissante ou décroissante.

Si l’on représente le nombre des termes par n , leur somme par s, et le dernier terme par on aura

(1 )..,»=aqn~\, (3)...s=a-f-ug -]-aq2 -j- ...-\-aq*-2 +aqm~‘.

La formule (1) fait voir qu’un terme quelconque s’obtient en multipliant le premier terme par la raison élevée à une puissance marquée par le nombre des termes qui le précèdent.

llest facile. d’obtenir une valeur plus simple des; car la relation (3) donne

s = a -|- q (a aq -}- ... -f- aq*~ 3 -f- aq*-2') , et d’ailleurs a •+■ aq -f- aq*-3 -j- aq*~% = s — aq"~‘-r

donc

s—a-\-q (s — aq * ').

Cette dernière équation conduit à

aiq ” — 1) (g— 0 ’

i5o. Les équations (1) et (2) fournissent la solution de ce problème général : Connaissant trois des cinq quantités a > q> n, *y Sj qui entrent dans une progression géométrique j déterminer Us deux autres. Cela conduit aux dix questions suivantes, analogues à celles du n° 1 48.

1 " Problème. Connaissant a, q , n , trouver » et s.

Les formules

(, (2 )...s=^LJ),

donnent les valeurs des inconnues » et s.

2' Problème. Connaissant s , q , n, trouver a et a. L’équation (2) , qui ne renferme que la seule inconnue a , fournit la valeur de a; cette valeur substituée dans l’équation (1), conduit à la valeur de ». On trouve ainsi ,

q et n, y trouver s et a.

3e Problème. Connaissant a ,

La formule (1) détermine a -, et la substitution de cette valeur de a dans (2), donne s. On trouve. . .

. 4e Problème. Connaissant a , » et n , déterminer q et s.

L’équation (1) donne (7) q —

Cette valeur de q substituée dans (2), déterminerait s. Mais on peut abréger ce calcul; car l’équation (1) donnant »q=aqaj la formule (2) devient s(q — i)=»q — a.

Mettant la valeur (7) de q, dans cette dernière équation, et