CHAPITRE V

multipliant ensuite les déu;t membres par V a, on trouve

\V'*-\/a)s=i*V»— nV a-, d’où (8)... « = -^77- -~£.

La formule (7) donne le moyen d’insérer m moyens géométriques entre deux nombres donnés a, a , car il suffit de trouver la raison q «l’une progression géométrique dont le Ier terme esta, dont le dernier terme est à, et dont le nombre n des

termes est m 2. La relation q — ~ devient q = ^ -.

Par conséquent : Pour (jbtenir la raison de la progression demandée , il suffit de calculer le quotient des deux nombres donnés j divisés l’un par l’outre j et d’extraire de ce quotient la racine du degré marqué par le nombre des moyens géométriques augmenté d’une unité. . , .

Il en résulte^ que, si l’on insère successivement un même nombre de moyens géométriques entre le ter et le 2* terme d’une progression géométrique, entre le 2' et 3e terme, etc., l’ensemble de tous ces termes forme -une nouvelle progression géométrique; car en désignant par q la raison de la progression donnée et par m le nombre des moyens géométriques que l’on insère entre deux termes consécutifs quelconques de cette progression, la raison qui régnera entre les moyens géomé-

triques sera constante et égale à j/ q. De sorte que l’ensemble de tous lés termes ainsi formés déterminera une nouvelle progression géométrique.

5e Problème. Connaissant a, s, n, trouver q et u.

t > - • /x a (on — r) 1

L équation (2.).. s — —

ne renfermant que la seule inconnue q, iLparaîtrait naturel d’en faire usage pour trouver q. Mais, on obtiendrait ainsi une valeur de q étrangère à la question. En effet, l’équation (a) re-

tb •

vient à

ALGEBRE-

(3). .. «(y — i) = aiqn — i).

On satisfait à cette dernière équation en posant 2 = 1; chacun des n ternies de la progression se réduit' à a; de sorte que la somme s de ces n termes devient égale à an. La valeur y = 1 ne satisfait donc à la question que dans te cas particulier où s=«n.

Lorsque s n’est pas égal à an, la valeur <7=1 déduite de (3), rie convient pas. Pour concevoir comment cette valeur étrangère de q a été introduite, on observe que la formule (3) peut se déduire de la relation primitive

. s —a + aq-\-. . .-1 -aq"~l = a(i -(- y + y’4- • • r +Ç*-1)»

en multipliant les deux membres par q — 1 ; car d’après la formule (1) , (page 33), le polynôme y"-1 4- y’-’ .. . + q + * » exprimant le quotient de qn — I par y — l , la multiplication indiquée conduit à

Ot, en.multipliant les deux membres par q—r t, on introduit nécessairemént [^valeur y=i , qui réduit q — 1 à xéro. L’équation qui ne détermjfie que.les valeurs convenables de q, est d.onc

s = a-j- aq-\-aq'+ . 4- nqn~l.

Pour la résoudre , on la met sous la forme

Lorsqu’on aura trouvé q, au moyen de l’équation (4) ,.les valeurs correspondantes de» se déduiront delà relation »— oy*-1 .

L’équation (4) étant du (n — 1 )Umt degré , lés méthodes qui ont été exposées jusqu’ici ne donnfenl le moyen de la résoudre que lorsque n est égal à 2 ou à 3.

Exemple. Sqient , a 5, s = 35, n — 3.

L’équation (4) devient y1 4- y =6; d’où y = 2,y = — 3.

Les valeurs correspondantes de « , déduites de la relation u=aqn~' , -sont 4" 20 et 4* 4^ i ce qu> détermine les deux pro-