CHAPITRE V
gressions . »
rr 5 : 10 : 20, h 5 : — i5 : + 45.
6' Problème. Connaissant a, s, n, trouver q et a.
Pour déterminer q , on pourrait éliminera entre les équations
— aq" ’, s
ce qui conduirait à l’équation du nUmr degré
(s — a) qn — sqn ■' +» = o.
Mais, d’aprcs ce qu’on a vu dan,s la question précédente, cette dernière équation admettrait la valeur étrangère q = i . Pour obtenir l’équation qui ne renferme. quç les valeurs convenables de q, on élimine a entre les équations
et = aqn~l, s=a (i +ç + q” +. .+ qn~'), ce qui fournit l’équation du (ri — iWm') degré
Lorsque n sera égal à 2 ou à 3, on pourra tirer q de l’équation (5), et ensuite la relation a=:aqn~ 1 fournira lçs valeurs correspondantes de a.
Exemple. Soient, « = 20, s = 35, »==3.
L’çquatiott (5) devient
i5 y* — 2o(y + i) = o, 'ou 3 q% , — 4 9 — 4 = 0.
On en tire <7 = 2, q =. — 1 5.
Les valeurs correspondantes de a, Réduites de « == aq"~',
sont +5 et +45. . ' " ' ^ gnl
Cela fournit les deux progressions
fv 5 : .10 : 20, h +45 ? — Bo ;+ 20.
Nous avons supposé dans les six problèmes précédens que le nombre n des termes était 'donné. * — '
Lorsque n est inconnu, .les équations
iS. .
(l)... tt=r.aqn~', (2)... s
conduisent à une équation de la forme *"=£, dans laquelle * el C sont des nombres connus. Pour résoudre cette équation, il suffit de prendre les logarithmes des deux membres; car d’après ce qui a été démontré {Arithmétique, page 2i3, 4°), le logarithme de <*■ étant égal à n fois le logarithme de et, on aura
« X log a = log C, d’ôù n =
log* •
}* Problème. Connaissant u , a et y , trouver s et ».
La relation ( 1 ) donne «y = aqn ; la substitution de cette Valeur de aqn dans (2) , conduit à
uq — a
Cette formule détermine s en fonction des données », g, q. Pour calculer n, on tire de (1)
On prend les logarithmes des deux membres de cette équation, ce- qui conduit à
(» — 1 ) X log q = log a — log a ; car on a démontré ( Arithmétique , page. 2i3, 2°) que
,loC ( = log « — log a. \
On en déduit
n — ! i = lo6 « ~ l°g a n __ log» -log a
l°g 1 ’ log q
JIK*S
^ Pboblème. Connaissant q , s et a , trouver a et n.
L’équation s = ^ f donne
..iJi
Algèbre, page 277. *
Formules relatives aux progressions géométriques.
Duihh
Inconnues.
