CHAPITRE V
substituant cette valeur de * dans * = aq*~*, on parvient à
sq — s -4- a 1 =
; d’où n =
lof- (sq — s-t-tp -T log a
a log q
ge Problème* Connaissant et , q.et Sj trouver a et n.
La relation s = — donne
substituant cette valeur de a dans « — aqn~‘, il vient
' „.v .. log»— log(-v+s— sq)
, cl ou n — 1 = . — .
: — sa toc n
etq -J- s — sq ’ log q
ioe Problème. Connaissant ai, a, s , trouver q et n.
La relation s = — donne
y s - — ai ’
mettant cette valeur de q dans u = aqa~', on parvient h
(~îï d’où (u-01oS(^)=log(^),
log' ai — log a
log (s — a) — log (s — ai)'
Les formules qui servent à'résoudre les dis problèmes précédens, se trouvent réunies dans le Tableau ci-contre.
i5i. Problème. Calculer la somme de. tous les termes d‘ une progression géométrique décroissante prolongée à P infini.
La formule s =
a(qu — i)
revient à s a aq
; d’où
La progression étant décroissante, la raison q est moindre que l’unité. Lorsque , a et q ne changeant pas , n augmente indéfiniment, 17" et — - — diminuent eu approchant indéfiniment
* ' ii "
de zéro (u° 120, 2°), la valeur de s approche indéfiniment de là
constante — - — ; de sorte quron peut toujours prendre assez de
termes pour que leur somme différé de cette constante d’une quantité moindre que toute grandeur donnée. Enfin , à la limite, quand la progression" se prolonge à l’infini, n est infiniment
aqn ,
grand, — — — se réduit à zéro, çt la somme de tous les termes est 1 - î
rigoureusement égalé a .
La somme de tous’ les fermes d’une progression géométrique décroissante prolongée à V infini, est donc égale au premier terme de celte progression divisé par l’unité moins la raison. .
On trouve de cette manière que la fraction décimale pério-
dique 0,272727 etc., est égale à car elle est équivalente à la
somme de tous les termes de la progression indéfinie
. 2 7 . JfL- • £2 • Plr
' ■ •* 100 • 100’ * IOO* • IOO> • ’
danslaquelle a==-^-, a = : et par suite s = —,
1 100 • ioo* r 99 '
§ IIL Des Fractions continues.
i52. On nomme fraction continue une' expression composée d’un nombre entier et tf une fraction qui a pour numérateur un nombre entier, et pour dénominateur un nombre entier plus une fraction; et ainsi Se suite. . .
Nous ne considérerons ici que des fractions continues de la forme particulière
+ etc. ,
dans lesquelles q , q', q" , etc. , désigneront des nombres en tiers positifs. • .
