CHAPITRE V

Les quantités q , q , q -\ — i , > etc.

mettre sous la forme de fractions ordinaires. En effet :

peuvent se

. qq

Changeant dans la dernière égalité, q' en q' - 1 , et

multipliant les deux ternies de la fraction qui en résulte par q", on trouve

et ainsi de suite.

Les fractions ordinaires . • -

q qn'+ I (qq'+ i)xgu + g i ’ q' ’ q'xq‘+ « ’ ' ’

ont reçu le nom de fractions .convirgentes ou de réduites, parce qu’elles approchent de plus en plus de.la -valeur de la fraction continue totale, et- qu’elles sont réduites à leurs plus simples expressions (n0>.i55 et i5q).

Les nombres entiers q, q', q", etc., sont les tpiotiens incomplets; on verra (n^-lCt^ la raison de cette dénomination. ' ' '

i53. La comparaison des trois premières réduites conduit, par analogie, à cette règle générale :

Pour obtenir les réduites successives qui correspondent à la fraction continue Cl), écrivez les qiwtiens incomplets q' , q“ , q", q"1, etc., par ordre, sur une ligne horizontale ; calculez les deux

premières réduite $ j , ^ ~j~ ; posez- les sous 'q' et q"; multipliez les deux termes de la 2e réduite par q" ; les produits, aug. mérités respectivement des deux termes de la ire réduite ,. donneront le numérateur et le dénominateur de la 3' réduite. Pour obtenir la 4* réduite, multipliez les deux termes de la 3* par q" ; les produits augmentés respectivement des deux termes de la 2e réduite , donneront le numérateur et le dénominateur de la 4' ré-

duite. Posez La 4‘ réduite sous q'y ; la 5e réduite se déduira de même des deux précédentes. Et ainsi de suite.

Celte loi ayant été vérifiée pour les trois premières réduites, il suffit de faire voir que, si elle a lieu pour trois réduites suc-

cesaives , ,, -y, la séduite suivante -5, se déduira desdeux

précédentes d’après la même loiv

Soient y, y, y", les derniers qiiotiens incomplets contenus ; • £' £»

dans les réduites -7 , , -, ; il faut prouver que , si

çv + f

' on aura

C* C"y* 4. £* um~ «"y" 4- <*' ‘

Or, on obtient - ÿ en remplaçant dans (-2) , y' par-y' 4- — ;

et par hypothèse = S'y' + S, a = «'y'

Effectuant ce changement dans (2) , et multipliant les deux termes de la fraction qui en résulte par y", on trouve

r çey + c) y" + s' s y 4- s'

La formule (3) n’est donc qu’une conséquence de la formule (2). Ce qui démontre le principe énoncé.

154. Les relations £"=Cy + G, d'=dy+a , font voir que les numérateurs et les dénominateurs des réduites successives sont d’autant plus grands que ces réduites sont plus éloignées de la première.

Rv.MA.nQUE. La quantité positive y' n’étaut jamais moindre que l’unité, on voit que £"iie peut être moindre que £'4-£, et que a" n’est jamais moindre que d -J- «.• Par conséquent, lorsque la fraction continue se prolonge indéfiniment il est toujours possible de trouver une réduite assez éloignée de la première j pour que son numérateur et son dénominateur soient aussi grands quon voudra.

155. Les réduites successives sont' alternativement plus petites et plus grandes que la fraction continue totale ; elles en approchent .de plus en plus. En effet , soient