CHAPITRE V

On voit que, pour déduire or de il suffit de changer y

en y' , dans la valeur dé -g : posant donc

y -f- etc. «

. v' + ÿ" + cic=:y’

on obtiendra x en cliapgeant y en y dans l’expression -7-7-——

ri y -f- ce

de -j : ce qui donnera «

(4)... x = et y>i.

L’équation (4) exprime la relation qui existe entre la fraction continue totale x et les termes de deux réduites consécu-

tives quelconques - , -7. Pour comparer les grandeurs de cés

Ct CL

fractions, on met eu évidence les différences entre x et chacune des réduites. Or , (4) donne

»xy 4- «*x = C^y'-f- £, y («'x — C) ?= C — ctx , .

. . (S)- »y (c ~ 7) = ct(~ -r)-

*y ct te étant positifs, la relation (5) démontre que les diffé-

rences x r > x, sont toujours de même signe; la va-

te «

leur de la fraction continue totale x est donc comprise entre

deux réduites consécutives quelconques — , -7

Ci Ct

Par exemple, si - > x , il faudra que —, <^x.

■te et

, • ' . • • çr ■'

La formule (5) prouve en' outre, que /a réduite —, approche

plus de la -fraction continue totale .r, que la réduite prècé-

dente ; c’est-à-dire que

-7 de *y soit

tt CL

car les inégalités *']>*, y 1 , donnant

la relation (5) exige que le multiplicateur x ■

moindre que le multiplicateur x de «.

Remarque. La ir* réduite y étant moindre que la fraction

continue totale x , les réduites de rang impair spnt ttop petites et les réduites de rang pair sont trop grandes; et d’ailleurs çomme elles approchent de plus en plus de x , les réduites de rang impair vont en augmentant, tandis que celles de rang pair vont en diminuant.

i56. La différence entre deux réduites consécutives quelcon-

ques — » — est une fraction ordinaire qui a U unité pour numérateur. r

En effet , lorsque ^ est de rang paif , on a

(T C ^ G’ , .G .G* G’ GT

->x, -,<x, -7, >, x-, donc ->-7 et a. a. « a. a a. a.

La formule (2) , (page 280) , donne

G" Gf Cy'f-G G'

-7; or, y-

Les différences entre- les red4it.es consecutives ont donc des

numérateurs égaux. Mais, la différence — entre les deux pre-- ; ' 'fl • ■

mières réduites, a l’unité pour numérateur; le principe est donc démontré. Par conséquent, u'G — «£' = 1. .. .

) 5-, Les fractions convergentes , formées d’apris la règle du