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comprise entre deux'réduites consécutives quelconques -, — ;

l’erreur e, commise en prenant, - au' lieu .de Jt , est moindre que la différence — -, entre ces réduites.

eut •-

Or, — , Car cionc e <

i5g. Pour obtenir la valeur d’une fraction continue , à

moins de j d’unité, il suffit de prendre une réduite telle que

son dénominateur soit plus grand que la racine quarrée de - ;

car Terreur commise en prenant la réduite - au lieu de la

fraction continue totale. étant moindre que il. ne s’agit

Ct •

que de satisfaire à l’inégalité d’où af>

Pour remplir cette dernière condition, on continue les calculs du n° i53, jusqu’à ce qu’on parvienne à une réduite dont le dénominateur * surpasse la plus petite valeur entière approchée de ta' racine quarrée de -. •

Rejiakque. Lorsque la fraction continue se prolonge indéfihi-

ment, on peut toujours calculer sa valeur avec autant d'exactitude quon veut; car il résulte 4e la remarque du n° i54 , qu’on parviendra toujours à une réduite dont le dénominateur

ser? plus grand que la racine quarrée de.-.

*160. Une réduite quelconque -y exprime la valeur de la fraction continue totale x, plus exactement que toute fraction — dont le, dénominateur serait moindre qui » .

• Cette propriété ayant été démontrée ( n° i’55 ) quand -

est une des réduites , ij suffit de considérer le cas où - n’est

pa$ une des réduites.

Soit - la réduite qui précède -7 ; et supposons

Je dis d’abord que la valeur de - ne peut tornber entre

— el — ; car si elle y tombait , on aurait

£ b £ £' „ ; aC— ■«'£ — •£'

— - < 7 ; d ou < 7 — •

u a ■ u « au u*

Or , *'£ — e? == 1 (n° i56) ; donc

. ‘ aQ — bu ’i

. au uu

Cette dernière inégalité donne aC — bu <[

Or par hypothèse -, 1 ; on. aurait donc aC — bu <C 1.

l*) On ferait dos raisonncincns analogues si - <