CHAPITRE V

Divisant a par r, on obtient un quotient entier q et un reste r r; q étant la plus petite valeur entière approchée de y, on a

-=? + -=s + dou *= -/» *>*•

Continuant les calculs jusqu’à ce qu’on parvienne à un reste

nul, la fraction - sera exprimée par la fraction conduite (1)

(page 278); et il est facile de voir quç la fraction continue se terminera, car on arrive toujours à un reste nul.

Les quotiens incomplets , q , q' , q", etc. , sont les quotieps entiers successifs que l’on obtiendrait en cherchant le. plus grand commun diviseur entre b et a.

ire Remarque. Quand b et a sont premiers entre eux, la

fraction — est irréductible; les deux termes de la dernière réa

duite sont h et a. Lorsque b et a ont un facteur commun ,

la dernière fraction convergente est égale à la fraction -

réduite à sa plus simple expression, car les fractions convergentes sont irréductibles. <

2' Remarque. Lorsque les deux termes d’upe fraction irréductible - sont des nombres considérables , il est difficile de se

former uue idée de la grandeur de cette fraction. Pour obtenir

des fractions plus simples j qui approchent de plus en plus de la

valeur de -, on convertit - en fraction continue , et' on forme a a

les réduites successives (n° l53). Ces réduites jouissent de la propriété demandée.

Soit la fraction irréductible la recherche du plus

• , iooooq 1

grand commun diviseur de ses deux termes donne les quotiens

entiers successifs 3, 7, i5, 1, 25, 1, 7, 4’> on en déduit que

les réduites sont

a88 ALGÈBRE.

D’après les propriétés du n° i55, les réduites de rang impair

sont moindres que la fraction donnée , mais elles vont

n iooopo

en augmentant, et s’en approchent de plus en plus.

Les réduites de rang pair

7’ TT3’ •3d44’

sont plus grandes que la fraction donnée ^ ^ , mais elles

vont eh diminuant et s’en approchent de plus en plus.

2* Exemple. Exprimer la racine quarrêe de 101 en fraction

continue.

La plus petite valeur entière approchée de [/ 101 étant 10, on fait ...

l/joi = io+-; d’où

I 1 x(\/ioi-(-io) t/lOI-f-IO ,

y— — -= — ■ — 7= r-j — 7= — — y IOI + IO.

ÿ lùi — 10 ( \/ 1 o 1 — 10) (V/ ioi-4-io) 101 — loP

Or, l/ioi + 10 = 20 + -, car

donc

Remplaçant successivement y par sa. valeur 20 '-J — , oi>

trouvera V 101 = 10 +

y ' 20 + etc. .

Tous les quotiens incomplets^', q“, q“, etc. , sont égaux à 20. La fraction continue qui exprime \/ 101 se prolonge indéfiniment, car v/ioi est incommensurable.