CHAPITRE V

162. La méthode précédente fournit le moyen de calculer la valeur Je l’ inconnue x dans les équations de la forme lorsque * et S sont des nombres connus.

Ier Exemple. Soit l’équation 8* = 3a.

Pour trouver la plus petite valeur entière approchée de x, on donne successivement à x les valeurs o, 1,2, et l’on voit que x tombe entre 1 et a.- On pose donc

x=i+^î on sait que ÿ^> u

Substituant cette valeur de x dans 8* = 32, on trouve

32=8 / = 8x8f; d’où 8^ = 4 et 4' = $.

Or y ]> i , et y — 2 donne ^=.16) la valeur de y est donc comprise entre 1 et 2. On pose donc

y=i + -> et on sait que. *>1.

Substituant cette valeur dey» dans 4* =8, on taouve

8=4 *=4x4*; d’où 4* =2 et 2* = 4.

La valeur z = 2 satisfaisant à l’équation 2* = 4 1 on a , 1 3 1 2 5

Et en effet ,

En général, quand la valeur de x j qui satisfait à P équation (i)... a1 = C j est plus grande que l’unité , la méthode précédente conduit à la valeur de x en fraction continue j et cette fraction sert à calculer x avec autant d’ exactitude qu on' veut.

Quand a et C étant positifs, la valeur réelle de x n’est pas plus grande que l’unité, on ramène ce cas au précédent en transformant l’équation (1) , en une autre a‘= b , dans laquelle s est plus grand que l’unité.

ALGEBRE.

i*r Exempt.*. Soit l’équation 8* = — .

L’hypothèse x = o , donnant une valeur trop forte de 8*, on voit que x est moindre que zéro, c’est-à-dire que x est négatif, on pose donc x=—z. L’équation proposée devient

JL = 8-=£; dois- 8*=3*.

Dans cette dernière équation, z étant plus grand que l'unité,

on trouvera * = d’oh x — — j*

2* Exemple. Soit l’équation io*=3.

La valèur Jf = o , donne i o* = i ,

et x = i , donne io* = io.

Le nombre 3 tombant entre 1 et io , on voit que x est compris entre zéro et I. Posant donc x = ^, on est certain que z est plus grand que l’unité, et on a

3=io*= io* ; ’d’oxi 3* = io.

Donnant à z les valeurs 2, 3, on voit que z tombe entre ces deux nombçes; on pose donc

Si l’on continue ces calculs , on trouvera que

io -f- - .

2 + etc.

Pour obtenir la valeur de z à moins d’un millième d’unité , il faut calculer les réduites successives jusqu’à ce qu’on parvienne à une réduite - telle que

«>v iooo. Or \/ 1 ooo = 3 1 ,6 etc.