CHAPITRE V

La réduite dont le dénominateur sera plus grand que 3i jouira donc de la propriété demandée; et comme les réduites

successives, calculées d’après la règle dun°i53, sont ~ ,

7-7 , etc. , on prendra x = Cette valeur de x C3t trop forte,

mais l’erreur est moindre qu’un millième d’unité ; si on ré-

duit en décimales, on trouvera x= 0,4772 etc.; et 0,477

exprime x à moins d’un millième d’unité, .car si l’on diminuait 0,4772 etc., d’un millième d’unité, le résultat 0,4762 etc., serait trop faible. Mais il serait fauxcP en conclure que la valeur exacte de x est comprise entre 0,477 et > car en pous-

sant plus loin les calculs, on trouve ar = o,477i etc.; de sorte que 0,477 est trop faible.

i63. Quand et et » sont des nombres entiers positifs donnés , il est facile de découvrir si la valeur réelle de x qui satisfait à l’équation (1). . . a* = C, est commensurable. En effet :

i°. Lorsque x a une valeur commensurable, on peut la représenter par ~ , b et a étant des nombres entiers premiers entre eux. L’éqüation (1) devient »

«“ = C ; d’où (2) ... a.b = Ga.

Tout facteur premier de a, divisera »b ; il devra donc diviser Ga , ce qui exige qu’il divise C,'(Arith., n° 47)'.i-es fbeteurs premiers de G doivent doue être les mêmes que cêux de et.

Par conséquent, si pet q désignent les facteurs premiers de «*(*), on aura nécessairement

*=pmq", Gxxp'q'.

Substituant ces valeurs de a. et G, l’équation (2) deviendra

(*) On snpposc que a ne renferme que deux facteurs premiers pf q; la démonstration serait la même pour tout autre nombre de facteurs.

ALGEBRE.

plm x ÿ‘* - p3' X ï3’.

Or, le» facteurs premiers p, q, doivent se trouver le même nombre de fois dans chaque membre ; car, par exemple , si l’on pouvait avoir bm = ar -f- <!', il en résulterait

/>3f+/X î,,=pY'; d’où fY’ = fi

le nombre premier p divisant p*qtn, devrait diviser y"’; il diviserait donc q (Arith., n° 4’j); ce qui est impossible, puisque p et q sont deux nombres premiers.

Il faut donc que

bm — ar . bn — as: d’ou

pV" =

^ Les rapports — , - , doivent donc être égaux.

Ainsi, lorsque x est commensurable j les fadeurs premiers de G sont les mêmes que ceux de a. j et les rapports des exposons de ces facteurs sont égaux entre eux.

Iticrt’itOQOKMF.NT , lorsque les facteurs premiers de net G étant les mêmes j les rapports des exposons de ces facteurs sont égaux 3 x est commensurable et chacun de ces rapports exprime r, car en supposant

*=pmqa, £=pTq‘, x~~==ylt on a mx = r , nx = s ,

et la valeur pmzq"x de*1 se réduit à prq’ , ou à G.

Exemple. Soit l’équation iox = G.

Pour que je soit commensurable, il faut que G ne renferme que les facteurs pccmiers 2, 5, de 10, et qu’en outre r = «J d’où C=(jx5)’=io'.

nombre G doit donc être une puissance entière positive ou négative de 10. Les seules valeurs de G qui fournissent des valeurs conuncnsurables de x sont donc

etc., — , ,

etc.

164. Les propriétés des fractions continues donnent le moyen de trouver toutes les solutions entières d’une équation

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