CHAPITRE V

numérique du premier degré entre deux inconnue» x et y.

En effet; lorsque l’équation proposée admet des valeurs entières de x et y, on peut toujours la ramener à l’une des formes

(i)... ax + by = c (2)... tix — by — cf

(3) ... — or -j- by = c , (4) — ax — by — c,

a et b désignant des nombres entiers positifs premiers entre eux (n° 7a). D’ailleurs, lorsqu’on connaît une solution entière de l’équation proposée, le principe du n° 73 fournit toutes les autres solutions entières; il suffit donc de trouver une de ces solutions. Pour y parvenir , on convertit la fraotion irréductible^ en fraction continue, par la méthode du n° 161; on

forme ensuite les réduites successives (n° i5S) ; la dernière est b Ç

-, et si - désigne la réduite précédente, on a vu (n° i56)

que aC — ba = ±.i. •'

i®. Soit aG — bm — 1.

Tour ramener cette équation à l’une des formes(i), (a), (3) , (4), on multiplie ses deux membres par c , ce qui donne

acG — bcet = c. .

La comparaison de cette dernière équation avec l’équation (1), fait voir qu’on obtiendra une solution entière de-1’ équation (1) en posant x — cG, y — — c ». ■

On verra de même que pour obtenir une solution entière des équations (a), (3), (4), il suffit de poser

x = cG |1 x = — cG |J x = — t-G y = c* il y— — cm j| y= + cu.

a“. Soit aG—bct=. — 1, d’où — acC-j- but = c.

Il est facile de voir qu’on obtiendra une solution entière des équations (1), (2), (3J, (4), en posant

x — — cG il x — — cG || x 3= -f - cG 11 x=-f-cC

y — ca II y .= — cet Il = -f- ca | ; y = — tel.

Exemple: Soit l’équation aix -f- a&y = 1000.

agi ALGÈBRE.

Eu la comparaut à l’équation (i), ou a

a = 21, b — 2.6, c — i ooo. ' *

Si l’on convertit — en fraction continue, on trouvera que ai • ^

les réduites successives sont -, y et — .

De sorte que C = 5, a.— 4; d’où aC — ba t= i.

On obtiendra donc une solution entière de l’équation. .... 2ix+ 26y = iooo, en posant

x = cC = 5ooo, y = — ca = — 4000-

§ IV. Théorie algébrique des Logarithmes.

1 65- Nous avons vu en Arithmétique que pour former un système de logarithmes , il suflit de prendre deux progressions indéünies, l’une géométrique commençant par l’unité, l’autre arithmétique commençant par zéro ; etqu’au moyen de ces deux progressions, la multiplication, la division, l’élévation aux puissances et l’extraction des racines, des termes de la progression géométrique, se réduisent à une addition, à une soustraction, à une multiplication, et à une division sur les termes correspondans de la progression arithmétique. Nous avons ensuite -remarqué qu’en insérant assez de moyens proportionnels entre les termes des deux progressions primitives, on obtient deux nouvelles progressions dont les ternies varient d’une manière presque insensible ; et nous en avons conclu que ces abréviations de calcul étaient applicables à tous les nombres. Les fermes de la progression arithmétique ont été nommés les LOGARITHMES des termes correspondans de la progression géométrique.

Il existe une analogie remarquable entre ces propriétés des logarithmes et les règles relatives aux exposans. Par exemple, dans la multiplication, le i.ogahitume du produit de deux nombres est égal à la somme des logarithmes de ces deux nombres, et de même I’exposart du produit de deux