CHAPITRE Y
puissances d’une meme quantité est égal à la tomme des exposaus de ces puissances. Cette concordance entre les logarithmes et les exposans, a également lieu dans la division, l’élévation aux puissances , et l’extraction des racines.
166. On est donc conduit à chercher si l’on ne pourrait pas considérer les logarithmes comme des exposans.
A cet effet,- nous reprendrons les progressions primitives
h i : 10 : ioo : 1000 : ioooo : 100000 :»...
qui ont servi à former le système de logarithmes tabulaires piacé à la fin de l’Arithmétique; on voit de suite que ces progressions peuvent se mettre sous la forme
fî io° : io' : io’ : io1 : io* : ios : . .
et par conséquent les logarithmes o, 1, a, 3, 4» etc., des nombres io°, 101, 10*, i*1, 104, etc. , peuvent être considérés comme les exposans des puissances auxquelles il suffit d’élever 10 pour obtenir ces nombres; de sorte qu’en posant io* =*y, on obtiendrait pour y les différens termes de H progression géométrique, en donnant successivement à ries valeurs o, 1,2, 3, .etc.
Pour étendre les propriétés dont jouissent les logarithmes à des nombres compris entre les termes de là progression géométrique primitive , on a inséré entre deux quelconques de ces termes un nombre n de moyens géométriques , dont ou a obtenu les logarithmes respectifs en insérant n moyens arithmétiques entre les deux termes corrcspondans de la progression arithmétique. De là résultent deux nouvelles progressions,
l’une géométrique, dont la raison est >° — ion+1 ; l’autre, arithmétique , dont la raison est ; de sorte qu’en dési-
gnant ^ - par i, on obtient les nouvelles progressions
H io° : 10' : 10^ ; io"' : lo("+0^miO,:sO,^ lo,+2'.. f O r I .a#" ni . (n-f i)t ou 1 . 1 -f-i . 1 -j-a/,... «
On voit encore que les logarithmes o, a/, etc., des nombres io°, 1 o', io*^, etc., sont les exposans des puissances auxquelles il suffit d’élever 10 pour obtenir ces nombres; et que la relation 10* = y fournirait pour y les différens termes de la nouvelle progression géométrique , en donnent successivement à a; les valeurs o, 2^, etc.
Le nombre n des moyens géométriques et arithmétiques que l’on insère entre deux termes consécutifs des progressions primitives étant arbitraire, on peut toujours prendre n assez grand
pour que *■ " ou ^devienne aussi petit qu’on voudra , et par
suite que les ternies des deux progressions varient par degrés très rapprochés. Il çst donc encore vrai de dire que les termes de la progression géométrique sont les valeurs de y fournies par la relation y s= 10*, en donnant à x les valeurs très rapprochées o, S , il, etc. , . ' r
L/ensemble de toutes les valeurs correspondantes de x et y fournies par la relation 10 y, forme un système de logarithmes; le nombreconstant 10 est ce qu’on nomme la base du système.
Par cqnséquent, dans les tables de logarithmes placées à la fin de V Arithmétique j la base est 10, et le logarithme d'un nombre peut être, considéré comme l'exposant de la puissance à laquelle il faut élever la base 1 o pour obtenir ce nombre.
Remahquei Sî dans la relation générale y — ioa, on conçoit que x prend les valeurs successives — i, — ->.î ; — 3 et, etc.-', les
— si
' — il
10 ,etc..
valeurs correspondantes de y seront io~ *, 1.0 et pour que ces nouvelles valeurs de x et y- fassent partie des progressions précédentes, il suffit de concevoir que ces progressions se prolongent indéfiniment dans les deux sens, car elles deviennent-
•si ,
167. On voit qué dans le système tabulaire dont la base est 10., les. logarithmes des quantités plus grandes que l'unité
t CHAPITRE V. 297
sont positifs j et d'autant plus grands que ces quantités sont plus. grandes ; tandis que. les logarithmes des quantités positives moindres que l’unité sont négatifs , et d'autant plus grands négativement que ces quantités sont plus petites.
168. Il est facile de s’assurer que tous les systèmes de logarithmes dont nous avons parlé en Arithmétique j et qui ont été fournis par des progressions ,
r3 : <rx
q~‘ : q° OU I
. à y.ô . h è ni.,,
peuvent encore se déduire de .la relation a* = y.
A cet effet, nous allons chercher quelle est la valeur de a qui ramène la progression géométrique à la forme
..ut . .
Ce qui se réduit à satisfaire à la condition q’"=a"‘t-, d’où q=af , • I ‘
La valeur cherchée de a est donc qf ou [/ q.
On voit de cette manière que la table des logarithmes
des nombres correspondans t
est absolument la même que celle qu’on déduirait de l’ensemble des solutions de l’équation a? ■=■ y , en donnant à x des valeurs .... — 3^, r- 2Î, — «L, o, é, 2Ï, 3é. . . ; de sorte qu’én concevant é moindre que toute quantité donnée, le logarithme x passera par tous les états de grandeur , et donnera pour y la suite de tous les nombres.
Des Logarithmes considérés comme des exposons.
169. Nous considérerons désormais les looabi^iiues des nombres j comme les exposa > s des puissances auxquelles il faut élever un nombre constant nommé base, pour en déduire tous ces nombres.
ALGEBRE.
Ainsi, en désignant par x le logarithme de y dans le système dont la base est ce , et par ly le logarithme de y pris daBS ce
système, on a
x = ly,
y = et1, x = ly\ d’où y = ttl*.
stu !" '
L’ensemble de toutes les valeurs de x et y correspondîmes à
une même valeur de <*, forme un système de logarithmes.
Les diverse? propriétés des logarithmes se déduisent avec la plus grande facilité de cette nouvelle définition. En effet; si l’on désigne par x et X les logarithmes des nombres y , Y, dans le système dont la base est a, on aura
Y=aX,
yXY=4X+X, -£=
Donc
x— ly
X=IY\ d’où-
mx
Vy~‘
l(y X Y) = x + A= iy+lY, l(£)x=x-X=ly-lY%
l(ym) — mx = mly , l \
Par conséquent : i°. le logarithme d’un produit est égal à la somme des logarithmes des facteurs ; 2°. le logarithme du quotient est égal au logarithme du dividende moins le logarithme du diviseur; le logarithme d1 une fraction est donc égal au loga- • rithme du numérateur , moins le logarithme du dénominateur ; 3°. le logarithme de la mUm‘ puissance, d’une quantité s’obtient eu multipliant par m le logarithme de celte quantité ; 4°- ^ logarithme de la racine m'1"" d’un nombre s’obtient en divisant par m le logarithme de ce nombre.
ir* Remarque. Cette manière de démontrer les propriétés des logarithmes, à l’aide des exposans, parait sans doute plus facile que celle que nous avons donnée en Arithmétique; mais on doit observer que les valeurs de x qui satisfont à l’équation a* —y , étant souvent incommensurables, il attrait fallu connaître la théorie des exposans incommensurables , qui ne peut être établie qu’en Algèbre.
w "ait*
être
CHAB1TRE V. 299
a* Remarie. La formule l (a* ) = x X , démontre que dans tout système de logarithmes, le logarithme de ylM est
identiquement égal au logarithme de f,r, car d’après cette formule,
I ( yll'j — IxXly, l (a'O = lj X lx. lèj
3e Remarque. Lorsque des nombres sont en progression géométrique j leurs logarithmes sont en progression arithmétique ; car en prenant les logarithmes des termes a,aq, aq%,aq etc. , d’une progression géométrique dont la raison est q, .ou obtient les termes, la, la -J- lq, la + zlq , la + 2>lq, etc., d’une pror gression arithmétique dont la raison est lq.
170. Dans tout système dont la base est positive et plus grande que l’unité , les logarithmes des quantités plus grandes que l’unité sont positifs et d’autant plus grands que ces quantités sont plus grandes ; les logarithmes des quantités positives moindres que l’unité sont négatifs et d’autant plus grands négativement que ces quantités sont plus petites.
En effet; si x désigne le logarithme de y, dans le système dont la base a. est plus grande que l’unité, on aura y — <tx, a > 1 , x = ly.
L’hypothèse x*=o donne y=i; et si x augmente d’une manière continue depuis zéro jusqu’à l’infini , la valeur de . y augmentera d’une manière continue depuis l’unité jusqu’à l’infini positif (n° lio). Mais xc=,ly. On voit donc que les logarithmes des quantités plus grandes que l’unité sont positifs et. d’autant plus grands que ces quantités sont plus grandes.
Pour obtenir les logarithmes des quantités positives moindres que l’unité, on fait
x — — z ; d’où y = == ^ .
Or, z augmentant depuis ièro jusqu’à l’infini positif, la va-
leur
de y diminue depuis l’unité jusqu’à zéro (n° 120) ,
car - est moindre que l’unité. Les logarithmes des quantités * ■ .
3oo ALGÈBRE.
positives moindres que l’unilé sont donc négatifs et d’autant plus grands en valeur absolue, que ces quantités sont plus petites. C’est dans ce sens qu’on dit qu e-le logarithme de zéro est l’infini négatif.
On verrait d’une manière semblable que dans tout système dont la base est positive et moindre que l’ imité > les logarithmes des quaiitités positives plus petites que l’unité sont positifs et d’autant plus grands que les quantités sont plus petites j et que les logarithmes des quantités positives plus grandes que l’unité sont négatifs et d’autant plus grands négativement qu’ils appartiennent <i des quantités plus grandes.
On ne peut pets prendre l’unité pour base d’ un système de logarithmes- j car toutes les puissances de i étant égales à l , les nombres plus grands ou plus petits que l’unité, n’auraient pas de logarithmes.
Vit. D’après la discussion précédente, lorsque dans l’équation a.* — y j tt est positif j tfi x augmenté d’une manière continue depuis — oo jusqu’à ■ — |— ôo j on obtiendra pour y toutes les quantités comprises entre zéro et l’infini positif
Aucune Valeur réelle de x 11e pouvant rendre^ négatif, les valeurs de x, correspondantes aux valeurs uégatives de y , sont imaginaires.
Par conséquent, dans tout système dont la base est positive , les logarithmes des quantités positives sont réels , et les logarithmes des quantités négatives sont imaginaires.
Remarque. Nous supposons ici qu’on ne considère que les valeurs arithmétiques des radicaux qui correspondent aux valeurs fractionnaires de x.
Si l’on voulait admettre les valeurs réelles négatives des radicaux de degré pair, les valeurs de x correspondantes aux valeurs uégatives de jy ne seraient plus imaginaires.
Par exemple, soit l’équation 100* = — 10.
La racine quarrée de 100 étant -f- 10 et — 10, on obtiendra
uue solutiou de l’équation proposée en faisant x = -, et en prenant la valçur négative — 10 de \/ loo, car 10*= 100.
