CHAPITRE V. 3oi

17a. Dans tous les systèmes de logarithmes , le logarithme de la base est égal à l’unité et le logarithme de l’unité est zéro-; car en désignant par x le logarithme de y dans le système dont la base est ot , on a

y = <tx, ly=x.

La valeur x — o, donnant y— 1, on voit que log 1=0, et x=i donnant y=*> on voit que loge — 1.

Lorsqu’on a une table de logarithmes , il est toujours facile de trouver la base relative à celte table, car le logarithme de la base étant égal a l’unité, oq cherchera dans la table le nombre correspondant au logarithme 1 ; ce nombre sera la base demandée. *

Par exemple, dans la- table de logarithmes placée ;à la fin de Y Arithmétique, Je nombre qui a pour logarithme l’unité, étant 10, la base est 10. Cela est d’ailleurs évident, car cette table a été déduite des progressions primitives • <

H t ! io : 100 ; 1000 ;

dans lesquelles le logarithme 1, correspond au nombre 10.

1 y 3. Connaissant les logarithmes de tous les nombres dans le système dont la base est a, pour en déduire lf s logarithmes des mêmes nombres dans le système dont la base est A , il suffit de calculer le quotient M de la division de l’unité par le logarithme de A priÿ dans le système dont la' base est », et de multiplier les logarithmes donnés par le nombre constant M ; car en désignant par X le logarithme inconnu de G dans la base A, et par IG , l, A, les logarithmes des nombres G, A, dans la hase *, on a

C=;AX, £ = Z(ÀX)=Xx£A;

d’oii X = (/.*) X.£ = (*) X M.

Le nombre constant M est ce qu’on nomme le module relatif à la base A.

•174. Lorsque la base est un nombre entier positif, le principe dn n“ i63 fournit le moyen de reconnaître si le logarithme d’un nombre donné est commemurable.

On en déduit que .dans le système dont la base est io, le 9 nombres

1, 10, 100, 1000, etc., — , ,. , etc.,

sont les seuls dont les logarithmes soient commensurables .

175. Lorsque la base est positive, le logarithme d’un nombre positif est réel ( n“ 171 ), et les fractions continues fournissent le moyen de calcule^ ce logarithme avec une approximation donnée.

Exemple. Calculer le logarithme de 3 dans le système dont la base est- 10.

Si x désigne ce logarithme , on aura- 10* = 3 ; la valeur de x sera incommensurable (n* 1 74) , et en opérant comme il a été indiqué ( pages 290 et agi ) , on trouvera x es 0,477 etc- EJe sorte que le logarithme de 3 est 0,477, à moins d’un millième d’unité; ce qui s’accorde avec le résultat qui a été obtenu ( Arith.j page 2i5).

1 76. La table de logarithmes placée à la fin de l’Arithmétique sé rapporte à la base 10; elle renferme les logarithmes à cinq décimales des nombres entiers moindres que 10000. Pour former'cette table, il suffit de" calculer par la méthode précédente les six premières décimales des logarithmes des nombres premiers compris entre l'et 10000; on en déduit par de simples additions les logarithmes à 6 décimales dés autres nombres entiers moindres que 10000, et on supprime ensuite la dernière décimale de manière à ne commettre que la plus petite erreur possible ( Arith.j n° 80).

Nous avons fait voir en Arithmétique que cette table fournit le moyen de calculer par approximation le logarithme d’un nombre donné quelconque, et de trouver le nombre correspondant à un logarithme donné.