CHAPITRE VI

Théorèmes et Problèmes sur les diviseurs des nombres et sur les fractions irréductibles. Théorie des différais systèmes de numération. Propriétés générales des nombres dans ces divers systèmes. Des Quotiens périodiques. Théorie du plus grand com-

mun diviseur.

§ Ier. Théorèmes et problèmes sur les diviseurs des nombres , et sur les fractions irréductibles.

178. Nous allons faire connaître plusieurs propriétés des diviseurs des nombres, dont quelques-unes ont été déjà démontrées en Arithmétique; la comparaison des deux modes de démonstration, conürmera ce que nous avons dit sur les avantages de

l’Algèbre.

l°. Lorsque deux nombres entiers ont un diviseur commun, leur somme et leur différence admettent le même diviseur ; car les relations

a = mi', né , donnent a = (m ± n) é.

• ' • | 1 -L n la

a°. Tout nombre qui divise la somme de deux quantités et

l’une de ces quantités , divise l’autre quantité ; car en faisant

a + C = mé, a = né ,

C = mé — a = mé — né = (m — n) é.

3°. Lorsque des nombres entiers , a , b , c ,dj etc., ont un fat-

ao

on a

vitirr

leur commun î j tous ces nombres combinés par voie d'addition et de soustraction , fournissent des résultats qui sont divisibles par S'. Cela se déduit de (i°).

Par exemple, soient c=o'<J', b = b’ l'y c=c't~, on aura a — b c = (a' — b' c')

Le nombre a — b + c sera donc divisible par

On en déduit que tout facteur d un nombre j divise les multiples de ce nombre.

4°. Deux nombres entiers consécutifs sont toujours premiers entre eux j car d’après (i°), s’ils avaient un facteur commun i , ce facteur diviserait leur différence i; ce qui est absurde.

5°. Le produit de n nombres entiers consécutifs quelconques est divisible par le produit des n nombres i, 2, 3, 4

En effet j l’identité

(p-4-l)(p+i). .(p-f-n— i)(p+n) fn+ffS y (p+t)(p-h*) ...'p-+-n— i) 1 . 1 ... (n — 1) n \ n J 1 . a ... (n — 1)

donne

=oo

iXp-<-n)0>-H)(p-»-a)--(P+n— 1) p(p+ t)

Cette dernière démontre que si le produit de n — 1 nombres entiers consécutifs p -f- 1 , p- f-2, . . . , p + n — 1 , est divisible par le produit des n — 1 nombres entiers 1, a , . . . , n — i, le reste de la division de {p -4- J ) {p 4- 2) • . . Cp + ra) par 1 X a X • • • X n sera le même que celui de la division de + + " — 0 Par 1 XSX...X»; c’est-à-dire

que si la propriété énoncée convient à n — 1 facteurs, le reste de la division du produit de n nombres entiers consécutifs par 1 X2...X», ue changera pas quand chaque facteur diminuera d’une unité ; le reste de la division ne changera donc pas, lorsqu’on diminuera de p unités chacun des n facteurs p+ I ,• p + 2,. . . , p+ n; le produit 1 X 2 X- . -X n de ces nou-