CHAPITRE VI

Veaux facteurs étant divisible par 1 X 2 X-- .X n, on voit que si la propriété énoncée est vraie pour n I facteurs^ elle le sera également pour n facteurs; or elle convient à deux facteurs, car l’un de ces facteurs étant toujours un nombre pair, leur produit est divisible par 1 X 2; le principe est donc démontré (¥).

6°. Tout diviseur S' commun à deux nombres *,G, divise nécessairement les restes que l’on obtient en cherchant le plus grand commun diviseur entre * et G. En .effet, soit <P>G\ on divisera et par G , ce qui fournira un quotient entier q et un reste r < C. La division de G par r donnera un quotient entier q' et un reste r'< r; et ainsi de suite. On aura

a = Gq -j- r, G — rq -f- r, etc.

Or, t~ divise a et G-, i' divisera donc Gq-, <J' divisera donc r, car u. = Gq -f- r.

Le nombre i' divisant G et r, l’égalité G ~rq- f- r' prouve que d' divisera / ; et ainsi de suite. Ce qui démontre la propriété énoncée.

70. Lorsqu’on multiplie le dividende et le diviseur par un nombre j la partie entière du quotient ne change pas, et le reste est multiplié par ce nombre. En effet, si la division de A par B fournit le quotient entier Q et le reste R , on aura

A = BQ 4- R , R < B ; d’où AP = BP XQ 4- RI’-

Cette dernière égalité prouve que la division de AP par BP conduira au quotient Q et au reste RP, car RP est moindre que le diviseur BP puisque R <[ B.

8°. Il résulte de (7°) que pour obtenir les restes successifs qui seraient fournis par la recherche du plus grand commun diviseur de A X P et B X P, H suffit de multiplier par P

(') Cette dernière démonstration est de M. Mayer, ancien élève de l’École Polytechnique , actuellement Directeur d’une Institution préparatoire & cette École.

3o8 ALGÈBRE.

tous les restes qui correspondent à la recherche du plus grand commun diviseur de A et B.

17g. Lorsqu'un nombre P divise le produit Ay^B de deux facteurs j s’il est premier avec A j il divisera nécessairement B.

En effet; A et P étant premiers entre eux, la recherche de leur plus grand commun diviseur conduira au reste 1 ( Arith.j n° 42, 3°). Par conséquent, si l’on multiplie A et P par B, et si l’on cherche le plus grand commun diviseur de AB et PB , on parviendra au veste 1 X B ou B (n° 1 78 , 8°). Mais P divise AB et PB ; P divise donc le reste B; car, d’aprcs ce qui a été démontré (n° 1 78 , 6°) , tout diviseur commun à AB et PB divise les restes successifs que l’on obtient en cherchant le plus grand commun diviseur entre AB et PB.

180. Tout nombre premier qui divise un produitj divise nécessairement un des facteurs de ce produit.

En effet; soit a un nombre premier qui divise le produit P des facteurs a, b , c , d,e te. ; si * est premier avec a, il faudra que* divise le produit p des autres facteurs, b, c ,d, etc., de P, car P = aXp. Par la même raison , * divisant le produit des facteurs b ,e,d, etc., si « est premier avec b, il faudra que « divise le produit des autres facteurs c , d , etc. En continuant ainsi jusqu’aux deux derniers facteurs, on voit que si a ne divise aucun des facteurs précédens, il faudra que « divise l’un de ces deux facteurs; ce qui démontre le principe énoncé.

Tout nombre premier qui divise divise donc a.

Rbmabqtje. On peut en conclure qu’nn nombre entier N n’est décomposable que d’une seule manière en facteurs premiers; car, par exemple, si », C, y et ï désignant des nombres premiers, on pouvait avoir

N = **C = «y4 9, il en résulterait

C devrait donc diviser y4/; ce qui est impossible, puisque C ne divise aucun des facteurs y, S~.