CHAPITRE VI. 3o

*181 . Lorsque des nombres entiers » , G , sont premiers entre eux, si l’on divise par G Us multiples te , 2», 3m, ... , ( Ç — i )m,on obtient nécessairement les G — I restes I, 2, 3, .... , G — I , qui peuvent d’ailUurs se présenter dans un autre ordre. On suppose que G est moindre que m.

Je tlis d’abord que G ne saurait diviser exactement aucun des

produits « X t , *»X 2, « X 3, , m X (£ — «)> car C étant

premier avec m, pour que G divisât un de ces produits, il faudrait que l’un des facteurs 1,2,3,...., G — l > fût divisible par G (n° 179), ce qui est absurde , puisque G est plus grand que chacun des nombres 1,2, 3 G — 1.

Par conséquent, si l’on divise successivement par G chacun des G — r multiples *, 2*, 3m, . . . . , ( G — 1)*, on obtiendra G — 1 restes, et aucun de ces restes nd sera nul. Il suffit donc de prouver que les G — 1 restes sont différens.

Or, si t et S' désignant des nombres entiers moindres que G, on pouvait obtenir deux restes égaux en divisant é'm et t'a par G , on aurait

J«e = Gq -f- r, = Gq r.

Les nombres q et q' seraient entiers , et en retranchant ces équations membre à membre , il viendrait

Le nombre f, qui est premier avec a, diviserait donc (J1 — J^a; G diviserait donc (J1 — <P) , ce qui est impossible, puisque J et i' étant moindres que G , la différence entre S' et J' est nécessairement moindre que G. Le principe est donc démontré.

182. i*r Problème- Déterminer tous Us diviseurs d’un nombre entier N.

On décompose d’abord ce nombre en ses facteurs premiers a, G, y, etc. ( Arith.j n° 4® ) > ce l^i donne

N = am G" y? etc.

Les différens termes du produit P des polynômes 1+*+**+...+*", 1 etc.,

3io ALGÈBRE-

sont les diviseurs de N ; car tout nombre premier -qui divise nn produit, divisant un des facteurs (jn0 180), on peut former tous les diviseurs de am X C* X vp X etc. , en donnant successivement à m, n, p, etc. , les valeurs o, i, 2, 3, etc. , qui n’excèdent pas m , n , p , etc. , et les diverses valeurs qui en résultent pour AmCnyf etc. , sont les termes du produit P.

Tous les termes de P ont des valeurs différentes. En effet; si deux' termes pouvaient avoir la même valeur numérique^ ils seraient nécessairement composés des mêmes facteurs premiers affectés d’exposans égaux chacun à chacun ( remarque du n° 180); ce qui est impossible d’après la manière dont on forme les différens termes du produit P.

Le nombre des diviseurs de N est

(m + 1) X (n + 1) X (p + 0 X etc.

En effet ; le facteur 1 4- « -f- -f- . . . -f- *m, contenant m -f- 1

termes, la multiplication de ce facteur, par l’un quelconque des >1 + x termes du facteur 1 -f- C •+• -f- £*, donne

m -+• x produits qui sont tous différens; le produit de ces deux facteurs renfermera donc (m -f- 1 )x (n+ 1) termes; ce produit, multiplié par 1 4- y + y" -f- • . . + y*, contiendra donc (m -f- 1) (« — f- 1) (/> — f— 1) termes; et ainsi de suite.

11 résulte de ce qui précède que la somme des diviseurs de N est égale au produit

(, +« + ... + «■■)(, +tf+...+ C) (1 -f y -f ... +7p) etc.

Ce produit peut se mettre sous la forme

X" Exemple. Calculer tous les diviseurs de 36o.

On décompose d’abord 36o en ses facteurs premiers; ce qui donne

36o s= a1 X 3* X 5' ( Arith . , page 46).

On effectue ensuite le produit des trois facteurs