CHAPITRE VI. 3n

i + 2 + a* + 2S, i + 3 -f- 3*, i + 5. Les termes ■ ) 2j 4» 8» 8, 6, i2, 24, 9» ... 18» 36, 72, 5, 10, 20, 4°> *5, 3o, 60, 120, 45, go, 180, 36o,

de ce produit, sont les diviseurs demandés ( Arith., page 4î)* Tous ces diviseurs sont différens; leur nombre est égal à (3 + 1) (2+1) (1 + 1) ou à 24 , et leur somme est égale à

ÇÇ=r)<S=r)(

ouà i5x«3x6, euà 1170.

2e Exemple. Déterminer tous les diviseurs de n55.

La décomposition de 1 155 en ses facteurs premiers donne

n55 = 3 X 5 X 7 X 11 {Aritli. j page 46) > et en formant le produit des quatre binômes

on trouve que les diviseurs de ii55 sont

1, 3, 5, i5, 7, 21 , 35, io5, 1 1, 33, 55, i65, 77, a3i, 385, u55.

3' Exemple. Trouver tous les diviseurs de 1 44*

En opérant comme dans les deux exemples précédens , on verra que les diviseurs demandés sont

Remarque. Cette manière de former tons les diviseurs d’un nombre eat moins sujette à erreur que celle qui a été donnée {Arith. , n° 4 g) •

*i83. Selon quJun nombre entier N est un quarrè ou n3 est pas un quarré j le nombre f de ses diviseurs est impair ou est pair y la réciproque est vraie. En effet , si l’on décompose le nombre donné N en ses facteurs premiers <t, C, y, etc., on trouvera

N = «m G" y’’ etc. ,

et l'on aura

/=:(*»+ i) (n+ i) (p+ i) etc.

3ta ALGÈBRE.

Lorsque N est un quarré, les exposans m , n, p, etc., sont pairs; aucun des facteurs m-t- i , n-f- 1 ,p + t , etc., de J', n’est donc divisible par 2 ; / est donc impair.

Quand N n’est pas un quarré, l’un des exposans m, n, p, etc. , est impair ; / est donc pair , car un des facteurs de / est pair. On en déduit que la réciproque est vraie.

*i84- 2* Problème. Déterminer de combien de manière» dif~ fèrente s on peut décomposer un nombre entier positif N en deux facteurs entiers positifs.

Soit / le nombre des diviseurs de N.

Lorsque /est un nombre pair un, le nombre N n’est pas un quarré; la division de N par un nombre quelconque donne donc un quotient qui n’est pas égal au diviseur. Par conséquent, si l’on divise successivement N par ses n diviseurs d,, d„ d3, .... dnt moindres que /K, on obtiendra n quotiens q, , q,, <Jj, .... qn , plus grands que V^N ; on aura

N = gr, X dx = ÿ,Xd,=ÿ3 X d3 = . . . = <7, X d,.

11 existera donc n produits qui seront égaux à N.

Par exemple , 36o ayant 24 diviseurs , on peut décomposer 36o, en deux facteurs, des douze manières suivantes:

,';iX36o, 2X180, 3xi2o, 4X9°> 5X72, 6x60,

8x 4 5» 9X 4°, 10X 36, i2X3o, i5xa4, 18x20.

Quand /est un nombre impair m -f- 1 , le nombre N est un quarré />*; divisant N par ses n diviseurs d, , d, , dj,..., dn, moindres que p, on obtiendra n quotiens q,, q%, qs,..,,qny plus grands que/); de sorte que

N== pX p = Çi X d, =qt X d, =qs X d3= ...=zqn X.d», Il existera donc n -J- 1 produits qui seront égaux à N.

*»$£>. 5" Problème. Composer un nombre qui admette / diviseurs.

Ce problèmeest indéterminé; car en désignant par «, Q, y, etc., les facteurs premiers du nombre demandé , ce nombre sera de la forme etc.; les facteurs premiers tt,C ,y, etc. , seront